Question

如圖，已知四邊形ABCD是正方形，點E、F、G、H分別在AB、BC、CD、和DA上，連接EG和FH小明和小亮對這個圖形進行探索，發現了很多有趣的東西，同時他倆又進一步猜想
小明說：如果EG和HF互相垂直，那么EG和HF一定相等；
小亮說：如果EG和HF相等，那么EG和HF一定互相垂直；
請你對小明和小亮的猜想進行判斷，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：如圖，作EM⊥CD于M，HN⊥BC于N，可通過證明△HFN≌△EGM，可證得小明的說法；通過作輔助線，找到與EG相等但不垂直的HF，即可證得小亮的說法．
解答：證明：如圖，作EM⊥CD于M，HN⊥BC于N，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠B=∠C=90°，BC=AB，
∵EM⊥CD
∴四邊形BCME是矩形，
∴EM=BC，
同理HN=AB，
∴EM=HN，
由題意可知FH⊥EG，EM⊥HN，
∴∠FHN+∠HOG=∠MEG+∠EON=90°，
∵∠EON=∠HOG，
∴∠FHN=∠MEG，
∴△HFN≌△EGM，
∴EG=HF；
小明的說法是正確的；
如圖，在BC上找兩個點F和F'，使BF'=CF取AD的中點H，連接FH和F'H，
易證HF=HF'，
作EG⊥HF'，其中點E在AB上，點G在CD上，
由上題可知EG=F'H=FH，
但HF和EG不互相垂直，
小亮的猜想是錯誤的．
點評：本題考查了正方形的性質，注意在正方形中的特殊三角形的應用，可有助于提高解題速度和準確率．