Question

如圖：已知△ABC是等邊三角形，D、E、F分別是AB、AC、BC邊的中點，M是直線BC上的任意一點，在射線EF上截取EN，使EN=FM，連接DM、MN、DN．
（1）如圖①，當點M在點B左側時，請你按已知要求補全圖形，并判斷△DMN是怎樣的特殊三角形（不要求證明）；
（2）請借助圖②當點M在線段BF上（與點B、F不重合），其它條件不變時，（1）中的結論是否依然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由；
（3）請借助圖③當點M在射線FC上（與點F不重合），其它條件不變時，（1）中的結論是否仍然成立？不要求證明．

Answer 1

（1）如圖①，
△DMN是等邊三角形．

（2）如圖②，當M在線段BF上（與點B、F重合）時，△DMN仍是等邊三角形．
證明：連接DF，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC=60°，AB=AC=BC．
∵D、E、F分別是△ABC三邊的中點，
∴DE、DF、EF是等邊三角形的中位線．
∴DF=

1

2

AC，BD=

1

2

AB，EF=

1

2

AB，BF=

1

2

BC．
∴∠BDF=∠A=∠DFE=60°，DF=BF=EF，
∴∠ABC=∠DFE，
∵FM=EN，


∴BM=NF，
∴△BDM≌△FDN，
∴∠BDM=∠FDN，MD=ND，
∴∠BDM+∠MDF=∠FDN+∠MDF=∠MDN=60°，
△DMN是等邊三角形；

（3）如圖③或圖④，當點M在射線FC上（與點F不重合）時，（1）中的結論不成立，
即△DMN不是等邊三角形．