Question

如圖三角形ABC中，有一內接矩形EFGH，AD為BC邊上的高，BC=10，AD=8，矩形面積為S，AD與HG交于K，設GF為x，HG為y．
（1）求y與x的函數關系式．
（2）當x取何值時，S有最大值，最大值是多少？

Answer 1

分析：（1）根據題意用含x的式子表示出AK，然后通過求證△AHG∽△ABC，根據對應邊成比例，即可推出y與x的函數關系式；
（2）根據矩形的面積公式，則可推出S=xy，然后根據（1）的結論，即可表示出S關于x的二次函數式，根據二次函數的性質，即可推出x取何值時，S的值最大．

解答：解：（1）∵矩形EFGH，AD⊥BC，
∴HG∥BC，
∴AK⊥HG，KD=GF，
∴△AHG∽△ABC，
∵BC=10，AD=8，GF為x，HG為y．
∴AK=8-x，
∵AK：AD=GH：BC，
∴

8-x

8

=

y

10

，
∴y=-

5

4

x+10；

（2）∵S_矩形EFGH=GH•GF=xy=x•（-

5

4

x+10），
∴S=-

5

4

x2+10x，
∴x=-

b

2a

=4，
∴當x=4時，S的值最大．

點評：本題主要考查相似三角形的判定和性質、矩形的性質、二次函數最值，關鍵是根據三角形相似，推出y關于x的函數表達式．