Question

如圖：在平面直角坐標系中，現將一塊等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在兩坐標軸上，與兩坐標軸交點為點A和點C，與拋物線y=ax²+ax+b交于點B，其中點A（0，2），點B（-3，1），拋物線與y軸交點D（0，-2）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求點C的坐標；
（3）在拋物線上是否還存在點P（點B除外），使△ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形？若存在，求所有點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）將B、D兩點坐標代入拋物線的解析式中，即可求出待定系數a、b的值，也就求得了拋物線的解析式；
（2）過B作BE⊥x軸于E，利用三角形全等解答即可；
（3）延長BC到P，使CP=BC，連接AP，利用等腰直角三角形的性質與全等三角形的判定與性質解答即可．

解答：解：（1）將（-3，1），（0，-2）代入得：

1=9a-3a+b -2=b

解得

a= 1 2 b=-2

，
∴拋物線的解析式為：y=

1

2

x2+

1

2

x-2；

（2）過B作BE⊥x軸于E，則E（-3，0），
易證△BEC≌△COA，
∴BE=AO=2，EB=CO=1，
∴C（-1，0）；

（3）延長BC到P，使CP=BC，連接AP，
則△ACP為以AC為直角邊的等腰直角三角形
過P作PF⊥x軸于F，易證△BEC≌△PFC，
∴CF=CE=2PF=BE=1，
∴P（1，-1），
將（1，-1）代入拋物線的解析式滿足；
若∠CAP=90°，AC=AP，
則四邊形ABCP為平行四邊形，
過P作PG⊥x軸于G，易證△PGA≌△CEB，
∴PG=2AG=1，
∴P（2，1）在拋物線上，
∴存在P（1，-1），（2，1）滿足條件．

點評：此題考查了等腰直角三角形的性質和判定、全等三角形的判定和性質、二次函數解析式的確定、函數圖象交點等知識．