Question

在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC，E為AB邊上一點，∠BCE=15°，且AE=AD．連接DE交對角線AC于H，連接BH．下列結論：
①△ACD≌△ACE；②△CDE為等邊三角形；③=2；④．
其中結論正確的是（ ）

A．只有①②
B．只有①②④
C．只有③④
D．①②③④

Answer 1

【答案】分析：根據題意，對選項進行一一論證，排除錯誤答案．
解答：解：由題意可知△ACD和△ACE全等，故①正確；
又因為∠BCE=15°，所以∠ACE=45°-15°=30°，所以∠ECD=60°，所以△CDE是等邊三角形，故②正確；
∵AE=AE，△ACD≌△ACE，△CDE是等邊三角形，
∴∠EAH=∠ADH=45°，AD=AE，
∴AH=EH=DH，AH⊥DE，
假設AH=EH=DH=x，
∴AE=x，CE=2x，
∴CH=x，
∴AC=（1+）x，
∵AB=BC，
∴AB²+BC²=[（1+）x]²，
解得：AB=x，
BE=x，
∴==，
故③錯誤；
④∵Rt△EBC與Rt△EHC共斜邊EC，
∴S_△EBC：S_△EHC=（BE×BC）：（HE×HC）
=（EC×sin15°×EC×cos15°）：（EC×sin30°×EC×cos30°）
=（EC×sin30°）：（EC×sin60°）
=EC：EC=1：=EH：CH=AH：CH，故④正確．
故其中結論正確的是①②④．
故選B．
點評：本題綜合考查全等三角形、等邊三角形和四邊形的有關知識．注意對三角形全等，相似的綜合應用．