Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A（0，8），點B（6，8 ）．
（1）只用直尺（沒有刻度）和圓規，求作一個點P，使點P同時滿足下列兩個條件（要求保留作圖痕跡，不必寫出作法）：
①點P到A，B兩點的距離相等；②點P到∠xOy的兩邊的距離相等．
（2）在（1）作出點P后，在x軸的正半軸上求一點M，使△POM是等腰三角形．

Answer 1

分析：（1）點P到A，B兩點的距離相等，即作AB的垂直平分線，點P到∠xOy的兩邊的距離相等，即作角的平分線，兩線的交點就是點P的位置．
（2）根據等腰三角形的性質，以O為圓心，OP為半徑，圓與x軸的正半軸交點M，就是所求作的點．

解答：解：（1）作圖如圖，點P即為所求作的點；

（2）若OP=OM，
作圖如圖，點M即為所求作的點．
∵點P到A，B兩點的距離相等，
∴PA=PB，
∵點P到∠xOy的兩邊的距離相等，
∴P在∠AOM的平分線上，
∴∠POF=∠OPF=45°，
∴直線EF的方程x=3，
∴0F=PF=3，
∴OP=3

2

，
∴點M的坐標為（3

2

，0）．
P的坐標為（3，3）．
若OP=PM，
則∠PMO=∠POM=45°，
∴∠OPM=90°，
∴OM=

OP

sin45°

=6，
∴M的坐標為（6，0）．
若PM=MO，
∴M的坐標為（3，0）．
∴M的坐標為（3

2

，0）或（6，0）或（3，0）．

點評：本題主要考查了線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等和角平分線上的點到角兩邊的距離相等．還考查了等腰三角形的性質和坐標與圖形性質，綜合性強，難度較大．