Question

已知一元二次方程（1-2a）x²+2

a

x-1=0有兩個不相等的實數(shù)根．
（1）求實數(shù)a的取值范圍；
（2）設(shè)a、β是一元二次方程的兩個根，a=

3 -1

2

，求

β

α

+

α

β

的值．

Answer 1

分析：（1）求a的取值范圍，可從兩方面考慮：
①原方程有兩個不相等的實數(shù)根，則根的判別式△=b²-4ac＞0；②二次項系數(shù)不為零；
（2）根據(jù)a的值，可確定原方程；由根與系數(shù)的關(guān)系可求得α+β、αβ的值，再將所求代數(shù)式化為兩根之和或兩根之差的形式，然后代值求解．

解答：解：（1）由已知可得

1-2a≠0 a≥0 4a+4(1-2a)＞0

（2分）?

a≠ 1 2 a≥0 a＜1

；（3分）
∴實數(shù)a的取值范圍是0≤a＜1（a≠

1

2

）；（4分）
（2）由已知及根與系數(shù)的關(guān)系可得α+β=

2 a

2a-1

，αβ=

1

2a-1

（5分）
∴

β

α

+

α

β

=

α2+β2

αβ

=

(α+β)2-2αβ

αβ

=

(α+β)2

αβ

-2（6分）
=

( 2 a 2a-1 )2

1 2a-1

-2
=

4a

2a-1

-2；（7分）
∵a=

3 -1

2

，
∴2a=

3

-1，
∴將2a=

3

-1代入，可化簡得-4-2

3

．（8分）

點評：本題考查了一元二次方程根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用．切記不要忽略一元二次方程二次項系數(shù)不為零這一隱含條件．