Question

【題目】如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點，與軸交于點C，點O為坐標原點，點D為拋物線的頂點，點E在拋物線上，點F在x軸上，四邊形OCEF為矩形，且OF=2，EF=3.

（1）求拋物線所對應的函數解析式.

（2）若點P為拋物線對稱軸上的一個動點,求PAC周長的最小值.

（3）將AOC繞點C逆時針旋轉90°，點A對應點為點G，問點G是否在該拋物線上？請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）,（2）,（3）點G不在該拋物線上.

【解析】

（1）利用矩形的性質得出E，C點坐標，進而利用待定系數法求二次函數解析式；

（2）先根據題意得出直線AE與對稱軸的交點為點P時，△PAC的周長最小，再求出AC+AE的值即可；

（3）首先根據旋轉條件求出G點的坐標，然后將點G的坐標代入拋物線的解析式中直接進行判定即可．

（1）∵四邊形OCEF為矩形，且OF=2，EF=3，

∴C點坐標為：（0，3），E點坐標為：（2，3），

將C，E代入y=-x2+bx+c得：

，

解得：，

∴拋物線對應的函數解析式為：y=-x2+2x+3;

（2）∵y=-x2+2x+3,

∴A(-1,0),

∴AF=3,

由于點C、E關于拋物線對稱軸對稱，

∴取直線AE與對稱軸的交點為點P時，

△PAC的周長最小，

△PAC周長=AC+AE=+=+=.

（3）點G不在該拋物線上.

根據題意，繞點C逆時針旋轉，落在所在的直線上，

由（2）可知，

∴點A對應點G的坐標為，

當時，，

所以點G不在該拋物線上.