Question

【題目】已知：直線y=ax+b與拋物線的一個交點為（0，2），同時這條直線與x軸相交于點A，且相交所成的角為45°．

（1）點A的坐標為__________；

（2）若拋物線與x軸交于點M、N（點M在點N左邊），將此拋物線作關于y軸對稱，M的對應點為E，兩拋物線相交于點F，連接NF，EF得△NEF，P是軸對稱后的拋物線上的點，使得△NEP的面積與△NEF的面積相等，則P點坐標為_________.

Answer 1

【答案】（-2，0）或（2，0） （2，2）或（－1，-2）或（－-1，-2）

【解析】

（1）設（0，2）為點B，根據直線與y軸的交點坐標，以及與x軸的相交夾角角度，可知OB=OA=2，即可得點A的坐標；

（2）根據（1）的結論，代入直線解析式，求出a，b的值，再代入拋物線的解析式求c的值，根據拋物線與x軸有兩個交點求出拋物線的解析式，根據題意作出關于y軸對稱的圖象，求出各個交點的坐標．設點P的坐標為（x，y），根據三角形的面積公式可知△NEP與△NEF的高相等，由此判斷y的取值，將y代入拋物線的解析式即可求出點P的坐標．

解：（1）設直線與拋物線的交點（0，2）為點B，

則將點B代入直線y=ax+b，解得b=2，

且直線與x軸相交的夾角為45°，

則△AOB為等腰直角三角形，

∴OA=OB=2，

當a＞0，點A的坐標為（-2，0），

當a＜0，點A的坐標為（2，0），

∴點A的坐標為（-2，0）或（2，0）．

（2）當a＞0時，將A（-2，0），B（0，2）代入直線解析式得，解得，

又∵拋物線過點B（0，2），

∴ c=2，

∴拋物線的解析式為，

∵，

∴拋物線與x軸沒有交點．

當a＜0時，將A（2，0），B（0，2）代入直線解析式得，解得，

又∵拋物線過點B（0，2），

∴ c=2，

∴拋物線的解析式為，

∵，

∴拋物線與x軸有兩個交點，

∴拋物線的解析式為．

令y=0，得，解得，，

∵點M在點N左邊，

∴點M的坐標為（，0），點N的坐標為（，0），

此拋物線作關于y軸對稱，圖象如下圖所示，M的對應點為E，兩拋物線相交于點F，即點F為點B，

∴點F的坐標為（0，2），點E的坐標為（，0），

∴NE=－（）=2，OF=2，

∴，

設使得△NEP的面積與△NEF的面積相等的P點坐標為（x，y），

由三角形面積公式可知，以NE為底，要使△NEP的面積與△NEF的面積相等，則高一樣，

∴，即．

當時，代入，解得，，

∵（0，2）與點F重合，

∴點P的坐標為（﹣2，2）；

當時，代入，解得，，

∴點P的坐標為（，﹣2）或（，﹣2），

綜上所述，滿足條件的點P共有三個，其坐標分別為（﹣2，2）或（，﹣2）或（，﹣2）．