Question

先閱讀，再填空解題：
（1）方程：x²+x-2=0的根是：x₁=

2

，x₂=

1

，則x₁+x₂=

3

，x₁x₂=

2

（2）方程2x²-7x+3=0的根是：x₁=

3

，x₂=

1

2

，則x₁+x₂=

7

2

，x₁x₂=

3

2

（3）方程x²-4x-5=0的根是：x₁=

5

，x₂=

-1

，則x₁+x₂=

4

，x₁x₂=

-5

（4）如果關于x的一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0且a、b、c為常數）的兩根為x₁，x₂，根據以上（1）（2）（3）你能否猜出：x₁+x₂，x₁x₂與系數a、b、c有什么關系？請寫出來你的猜想并說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用因式分解法求出方程的解，求出兩根之和與兩根之積即可；
（2）利用因式分解法求出方程的解，求出兩根之和與兩根之積即可；
（3）利用因式分解法求出方程的解，求出兩根之和與兩根之積即可；
（4）根據以上（1）（2）（3）猜出x₁+x₂，x₁x₂與系數a、b、c關系式，利用求根公式驗證即可．

解答：解：（1）x₁=-2，x₂=1，x₁+x₂=-1，x₁x₂=-2；

（2）x₁=3，x₂=

1

2

，x₁+x₂=

7

2

，x₁x₂=

3

2

；

（3）x₁=5，x₂=-1，x₁+x₂=4，x₁x₂=-5；

（4）x₁+x₂，x₁x₂與系數a、b、c的關系是：x₁+x₂=-

b

a

，x₁+x₂=

c

a

，
理由是ax²+bx+c=0（a≠0）有兩根為
x₁=

-b+ b2-4ac

2a

，x₂=

-b- b2-4ac

2a

，
∴x₁+x₂=

-2b

2a

=-

b

a

，x₁x₂=

b2-(b2-4ac)

4a2

=

c

a

．
故答案為：（1）2，1，3，2；（2）3，

1

2

，

7

2

，

3

2

；（3）5，-1，4，-5．

點評：此題考查了解一元二次方程-因式分解法，利用此方法解方程時，首先將方程右邊化為0，左邊化為積的形式，然后利用兩數相乘積為0，兩因式中至少有一個為0轉化為兩個一元一次方程來求解．