Question

（1）在圖1，2，3中，給出平行四邊形ABCD的頂點A，B，C，D的坐標（如圖所示），寫出圖1，2，3中的頂點C的坐標，它們分別是（5，2），（______，______），（______，______）
（2）在圖4中，給出平行四邊形ABCD的頂點A，B，D的坐標（如圖所示），求出頂點C的坐標（______，______）（C點坐標用含a，b，c，d，e，f的代數式表示）
歸納與發現
（3）通過對圖1，2，3，4的觀察和頂點C的坐標的探究，你會發現：無論平行四邊形ABCD處于直角坐標系中哪個位置，當其頂點坐標為A（a，b），B（c，d），C（m，n），D（e，f），（如圖4）時，則四個頂點的橫坐標a，c，m，e之間的等量關系為______； 縱坐標b，d，n，f之間的等量關系為______（不必證明）．

Answer 1

解：（1）利用平行四邊形的性質：對邊平行且相等，
得出圖1、圖2，3中頂點C的坐標分別是：（5，2）、（e+c，d），（c+e-a，d）．
故答案為：（5，2）、（e+c，d），（c+e-a，d）．

（2）分別過點A，B，C，D作x軸的垂線，垂足分別為A₁，B₁，C₁，D₁，
分別過A，D作AE⊥BB₁于E，DF⊥CC₁于點F．
在平行四邊形ABCD中，CD=BA，
又∵BB₁∥CC₁，
∴∠EBA+∠ABC+∠BCF=∠ABC+∠BCF+∠FCD=180度．
∴∠EBA=∠FCD．
又∵∠BEA=∠CFD=90°，
∴△BEA≌△CFD．
∴AE=DF=a-c，BE=CF=d-b．
設C（x，y）．
由e-x=a-c，得x=e+c-a．
由y-f=d-b，得y=f+d-b．
∴C（e+c-a，f+d-b）．
（3）m=c+e-a，n=d+f-b或m+a=c+e，n+b=d+f．
分析：（1）根據平行四邊形的性質：對邊平行且相等，得出圖2，3中頂點C的坐標分別是（e+c，d），（c+e-a，d）；
（2）分別過點A，B，C，D作x軸的垂線，垂足分別為A₁，B₁，C₁，D₁，分別過A，D作AE⊥BB₁于E，DF⊥CC₁于點F．在平行四邊形ABCD中，CD=BA，根據內角和定理，又∵BB₁∥CC₁，可推出∠EBA=∠FCD，△BEA≌△CFD．依題意得出AF=DF=a-c，BE=CF=d-b．設C（x，y）．由e-x=a-c，得x=e+c-a．由y-f=d-b，得y=f+d-b．繼而推出點C的坐標．
（3）在平行四邊形ABCD中，CD=BA，同理證明△BEA≌△CFD（同（2）證明）．然后推出AF=DF=a-c，BE=CF=d-b．又已知C點的坐標為（m，n），e-m=a-c，故m=e+c-a．由n-f=d-b，得出n=f+d-b．
點評：此題主要考查了平行四邊形的性質，平面直角坐標系內的坐標，平行線的性質等知識．理解平行四邊形的特點結合平面直角坐標系是解決本題的關鍵．