Question

如圖，Rt△ABC中，E、D、F分別在AB、BC、AC上，且四邊形AEDF是正方形．已知CD=8，BD=12，則陰影部分的面積為

 

．

Answer 1

分析：設正方形AEDF的邊長為a，由四邊形AEDF為正方形，∠BAC=90°，得DF∥AB，得到△CDF∽△DBE，根據相似三角形的對應邊成比例，即可求得CF與BF的值，在Rt△BDE中，利用勾股定理可得到a²，再利用三角形的面積公式得S_陰影部分=

1

2

•CF•DF+

1

2

•DE•BE，代入計算即可得到陰影部分的面積．

解答：解：設正方形AEDF的邊長為a，
∵四邊形AEDF為正方形，∠BAC=90°，
∴DF∥AB，
∴∠CDF=∠B，
∴△CDF∽△DBE，
∴

8

12

=

a

BE

=

CF

a

，
∴BE=

3a

2

，CF=

2a

3

，
在Rt△BDE中，BD²=BE²+DE²，即12²=a²+（

3a

2

）²，
解得a²=

576

13

，
∴S_陰影部分=

1

2

•CF•DF+

1

2

•DE•BE=

1

2

（

3a2

2

+

2a2

3

）=

1

2

×

13

6

×

576

13

=48．
故答案為48．

點評：本題考查了三角形相似的判定與性質，勾股定理以及三角形的面積公式．此題難度較大，解題的關鍵是注意數形結合思想與方程思想的應用．