Question

【題目】已知∥，點、分別是、 上的兩點，點在、之間，連接、.

（1）如圖①，若，求的度數；

（2）如圖②，若點是下方一點，平分，平分，已知，求的度數；

（3）如圖③，若點是上方一點，連接、，且的延長線平分，平分，，求的度數.

Answer 1

【答案】（1）90°；（2）90°；（3）50°

【解析】

（1）過G作GH∥AB，依據兩直線平行，內錯角相等，即可得到∠AMG+∠CNG的度數；
（2）過G作GK∥AB，過點P作PQ∥AB，設∠GND=α，利用平行線的性質以及角平分線的定義，求得∠MGN=30°+α，∠MPN=60°-α，即可得到∠MGN+∠MPN=30°+α+60°-α=90°；
（3）過G作GK∥AB，過E作ET∥AB，設∠AMF=x，∠GND=y，利用平行線的性質以及角平分線的定義，可得∠MEN=∠TEN-∠TEM=90°-y-2x，∠MGN=x+y，再根據2∠MEN+∠G=105°，即可得到2（90°-y-2x）+x+y=105°，求得x=25°，即可得出∠AME=2x=50°．

解：（1）如圖1，過G作GH∥AB，

∵AB∥CD，
∴GH∥AB∥CD，
∴∠AMG=∠HGM，∠CNG=∠HGN，
∵MG⊥NG，
∴∠MGN=∠MGH+∠NGH=∠AMG+∠CNG=90°；

（2）如圖2，過G作GK∥AB，過點P作PQ∥AB，設∠GND=α，

∵GK∥AB，AB∥CD，
∴GK∥CD，
∴∠KGN=∠GND=α，
∵GK∥AB，∠BMG=30°，
∴∠MGK=∠BMG=30°，
∵MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，
∴∠GMP=∠BMG=30°，
∴∠BMP=60°，
∵PQ∥AB，
∴∠MPQ=∠BMP=60°，
∵ND平分∠GNP，
∴∠DNP=∠GND=α，
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠QPN=∠DNP=α，
∴∠MGN=30°+α，∠MPN=60°-α，
∴∠MGN+∠MPN=30°+α+60°-α=90°；

（3）如圖3，過G作GK∥AB，過E作ET∥AB，設∠AMF=x，∠GND=y，

∵AB，FG交于M，MF平分∠AME，
∴∠FME=∠FMA=∠BMG=x，
∴∠AME=2x，
∵GK∥AB，
∴∠MGK=∠BMG=x，
∵ET∥AB，
∴∠TEM=∠EMA=2x，
∵CD∥AB∥KG，
∴GK∥CD，
∴∠KGN=∠GND=y，
∴∠MGN=x+y，
∵∠CND=180°，NE平分∠CNG，

∴∠CNG=180°-y，∠CNE=∠CNG=90°-y，
∵ET∥AB∥CD，
∴ET∥CD，
∴∠TEN=∠CNE=90°-y，
∴∠MEN=∠TEN-∠TEM=90°-y-2x，∠MGN=x+y，
∵2∠MEN+∠G=105°，
∴2（90°-y-2x）+x+y=105°，
∴x=25°，
∴∠AME=2x=50°.