Question

如圖，已知一次函數y＝0.5x+2的圖象與x軸交于點A，與二次函數y＝ax²+bx+c的圖象交于y軸上的一點B，二次函數y＝ax²+bx+c的圖象與x軸只有唯一的交點C，且OC＝2．

（1）求二次函數y＝ax²+bx+c的解析式；

（2）設一次函數y＝0.5x+2的圖象與二次函數y＝ax²+bx+c的圖象的另一交點為D，已知P為x軸上的一個動點，且△PBD為直角三角形，求點P的坐標．

Answer 1

解：（1）∵y=0.5x+2交x軸于點A，

∴0=0.5x+2，

∴x=﹣4，

與y軸交于點B，

∵x=0，

∴y=2

∴B點坐標為：（0，2），

∴A（﹣4，0），B（0，2），

∵二次函數y=ax²+bx+c的圖象與x軸只有唯一的交點C，且OC=2

∴可設二次函數y=a（x﹣2）²，

把B（0，2）代入得：a=0.5

∴二次函數的解析式：y=0.5x²﹣2x+2；

（2）（Ⅰ）當B為直角頂點時，過B作BP₁⊥AD交x軸于P₁點由Rt△AOB∽Rt△BOP₁∴=，

∴=，

得：OP₁=1，

∴P₁（1，0），

（Ⅱ）作P₂D⊥BD，連接BP₂，

將y=0.5x+2與y=0.5x²﹣2x+2聯立求出兩函數交點坐標：D點坐標為：（5，4.5），

則AD=，

當D為直角頂點時

∵∠DAP₂=∠BAO，∠BOA=∠ADP₂，

∴△ABO∽△AP₂D，

∴=，

=，

解得：AP₂=11.25，

則OP₂=11.25﹣4=7.25，

故P₂點坐標為（7.25，0）；

（Ⅲ）當P為直角頂點時，過點D作DE⊥x軸于點E，設P₃（a，0）

則由Rt△OBP₃∽Rt△EP₃D

得：，

∴，

∵方程無解，

∴點P₃不存在，

∴點P的坐標為：P₁（1，0）和P₂（7.25，0）．