Question

（2008•包頭）已知直線y=kx+1經過點M（d，-2）和點N（1，2），交y軸于點H，交x軸于點F．
（1）求d的值；
（2）將直線MN繞點M順時針旋轉45°得到直線ME，點Q（3，e）在直線ME上，①證明ME∥x軸；②試求過M、N、Q三點的拋物線的解析式；
（3）在（2）的條件下，連接NQ，作△NMQ的高NB，點A為MN上的一個動點，若BA將△NMQ的面積分為1：2兩部分，且射線BA交過M、N、Q三點的拋物線于點C，試求點C的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）把點N（1，2）代入y=kx+1，得k，再把M點坐標代入已知直線解析式得d；
（2）由（1）可知直線MN：y=x+1與x軸夾角為45°，將直線MN繞點M順時針旋轉45°得到直線ME，此時ME∥x軸；由此可以判斷點Q的縱坐標與點M相同，e=-2，已知M、N、Q三點坐標，可求拋物線解析式；
（3）有兩種可能，即S_△AMB=S_△NMQ或S_△AMB=S_△NMQ；△NMQ的面積為已知，線段MB長已知，可求點A到BM的距離，又點A在直線MN上，可求點A坐標，用“兩點法”求直線AB解析式，再與拋物線解析式聯立，可求C點坐標．
解答：解：（1）把點N（1，2）代入y=kx+1，得k=1
∴y=x+1
∵點M（d，-2）在直線y=x+1上
∴d=-3

（2）①∵y=x+1分別交x軸、y軸于點F、H．
∴F（-1，0），H（0，1），
∴OF=OH=1
∴∠HFO=∠NME=45°，
∴ME∥x軸
②又∵點Q（3，e）在直線ME上，
∴Q（3，-2）
設過M（-3，-2），N（1，2），Q（3，-2）的拋物線為y=ax²+bx+c
代入三個點的坐標得
解得
∴y=-x²+

（3）設A（m，n），A到MQ的距離為h，則
S_△AMB=S_△NMQ或S_△AMB=S_△NMQ
當S_△AMB=S_△NMQ時，得MB•h=×MQ•NB ①
∵NB是△NMQ的高，
∴B（1，-2）
∴MB=4，MQ=6，NB=4
∴由①式得h=2，
∴n=2-2=0，m=-1
∴A（-1，0）
設直線AB的解析式為y=k´x+b´，代入A（-1，0）和B（1，-2），得k´=-1，b´=-1
解方程組
得（舍去）
∴C（1-2，2-2）
當S_△AMB=S_△NMQ時，可得h=4，n=2，m=1
此時點A（1，2）為滿足條件的點
綜上可知，所求點C的坐標為（1-2，2-2）和（1，2）．
點評：本題綜合性強，考查了點的坐標的求法，拋物線解析式的確定方法，及解決有關三角形面積的問題，同時，滲透了分類討論的思想．