Question

如圖1，已知矩形ABCD的頂點A與點O重合，AD、AB分別在x軸、y軸上，且AD=2，AB=3；拋物線y=-x²+bx+c經過坐標原點O和x軸上另一點E（4，0）
（1）當x取何值時，該拋物線取最大值？該拋物線的最大值是多少？
（2）將矩形ABCD以每秒1個單位長度的速度從圖1所示的位置沿x軸的正方向勻速平行移動，同時一動點P也以相同的速度從點A出發向B勻速移動．設它們運動的時間為t秒（0≤t≤3），直線AB與該拋物線的交點為N（如圖2所示）．
①當t=時，判斷點P是否在直線ME上，并說明理由；
②以P、N、C、D為頂點的多邊形面積是否可能為5？若有可能，求出此時N點的坐標；若無可能，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據O、E的坐標即可確定拋物線的解析式，進而求出其頂點坐標，即可得出所求的結論；
（2）①當t=時，OA=AP=，由此可求出P點的坐標，將其代入拋物線的解析式中進行驗證即可；
②此題要分成兩種情況討論：
一、PN=0時，即t=0或t=3時，以P、N、C、D為頂點的多邊形是△PCD，以CD為底AD長為高即可求出其面積；
二、PN≠0時，即0＜t＜3時，以P、N、C、D為頂點的多邊形是梯形PNCD，根據拋物線的解析式可表示出N點的縱坐標，從而得出PN的長，根據梯形的面積公式即可求出此時S、t的函數關系式，令S=5，可得到關于t的方程，若方程有解，根據求得的t值即可確定N點的坐標，若方程無解，則說明以P、N、C、D為頂點的多邊形的面積不可能為5．
解答：解：（1）因拋物線y=-x²+bx+c經過坐標原點O（0，0）和點E（4，0），
故可得c=0，b=4，
所以拋物線的解析式為y=-x²+4x（1分），
由y=-x²+4x，y=-（x-2）²+4，
得當x=2時，該拋物線的最大值是4；（2分）

（2）①點P不在直線ME上；
已知M點的坐標為（2，4），E點的坐標為（4，0），
設直線ME的關系式為y=kx+a；
于是得，，
解得：，
所以直線ME的關系式為y=-2x+8；（3分）
由已知條件易得，當t=時，OA=AP=，P（，）（4分）
∵P點的坐標不滿足直線ME的關系式y=-2x+8；
∴當t=時，點P不在直線ME上；（5分）
②以P、N、C、D為頂點的多邊形面積可能為5
∵點A在x軸的非負半軸上，且N在拋物線上，
∴OA=AP=t；
∴點P、N的坐標分別為（t，t）、（t，-t²+4t）（6分）
∴AN=-t²+4t（0≤t≤3），
∴AN-AP=（-t²+4t）-t=-t²+3t=t（3-t）≥0，
∴PN=-t²+3t（7分）
（ⅰ）當PN=0，即t=0或t=3時，以點P，N，C，D為頂點的多邊形是三角形，此三角形的高為AD，
∴S=DC•AD=×3×2=3；
（ⅱ）當PN≠0時，以點P，N，C，D為頂點的多邊形是四邊形
∵PN∥CD，AD⊥CD，
∴S=（CD+PN）•AD=[3+（-t²+3t）]×2=-t²+3t+3（8分）
當-t²+3t+3=5時，解得t=1、2（9分）
而1、2都在0≤t≤3范圍內，故以P、N、C、D為頂點的多邊形面積為5
綜上所述，當t=1、2時，以點P，N，C，D為頂點的多邊形面積為5，
當t=1時，此時N點的坐標（1，3）（10分）
當t=2時，此時N點的坐標（2，4）．（11分）
說明：（ⅱ）中的關系式，當t=0和t=3時也適合，（故在閱卷時沒有（ⅰ），只有（ⅱ）也可以，不扣分）
點評：本題是二次函數的綜合題型，其中涉及的知識點有拋物線的頂點坐標的求法、圖形的面積求法以及二次函數的應用．在求有關動點問題時要注意分析題意分情況討論結果．