Question

如圖，以正方形ABCD的AB邊為直徑，在正方形內部作半圓，圓心為O，DF切半圓于點E，交AB的延長線于點F，BF=4．
求：（1）cos∠F的值；（2）BE的長．

Answer 1

分析：（1）解答此題的關鍵是由△OEF∽△DAF得出AF=2EF，再根據此數值求出EF和FO，然后即可求出cos∠F．
（2）由△BEF∽△EAF，和設BE=k，則AE=2k，即可求得BE．

解答：解：（1）連接OE，
∵DF切半圓于點E，
∴∠OEF=90°，
∵四邊形ABCD為正方形，
∵∠OEF=∠DAF=90°，
∵∠F=∠F，
∴△OEF∽△DAF，
得

EF

AF

=

OE

DA

=

OE

AB

=

1

2

，
即AF=2EF，
又EF²=FB•FA=BF•2EF，
∴EF=2BF=8，AF=2EF=16，
∴AB=AF-BF=12，
FO=

1

2

AB+BF=10．
cos∠F=

EF

FO

=

4

5

；

（2）連接AE，
∵DE是⊙O的切線，
∴∠BEF=∠EAF，
∵∠F為公共角，
∴△BEF∽△EAF，
∴

BE

EA

=

EF

AF

=

8

16

=

1

2

，
設BE=k，則AE=2k，
根據AB是直徑，故∠AEB=90°，
即AE²+BE²=AB²，
得（2k）²+k²=12²，
解得k=

12

5

5

，
故BE=

12

5

5

．

點評：此題涉及的知識點較多，由相似形的判定與性質，勾股定理，正方形的性質等知識點，綜合性較強．