Question

如圖，已知正方形ABCD的邊長為2，將此正方形置于直角坐標系xOy中，使AB在x軸上，對角線的交點E在直線y=x-1上．
（1）按題設條件畫出直角坐標系xOy，并求出點A、B、C、D的坐標；
（2）若直線y=x-1與y軸相交于G點，拋物線y=ax²+bx+c過G、A、B三點，求拋物線的解析式及點G關于拋物線對稱軸的對稱點M的坐標；
（3）在（2）中的拋物線上且位于X軸上方處是否存在點P，使三角形PAM的面積最大？若存在，求出符合條件的點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由AB在x軸上，對角線的交點E在直線y=x-1上，即可求得點A的坐標，又由正方形ABCD的邊長為2，即可求得點B、C、D的坐標，則結合題意畫圖即可；
（2）首先直線y=x-1與y軸相交于G點，求得G的坐標，然后設此拋物線的解析式為y=a（x-1）（x-3），由待定系數法求解即可拋物線的解析式，求得其對稱軸，則可得點G關于拋物線對稱軸的對稱點M的坐標；
（3）首先設P（x，-

1

3

（x-2）²+

1

3

），然后由S_△PAM=S_△PAB+S_△MAB，根據二次函數求最值問題的求解方法，即可求得答案．

解答：解：（1）∵AB在x軸上，對角線的交點E在直線y=x-1上，
當y=0時，x=1，
∴點A（1，0），
結合題意畫圖：（2分）
∵正方形ABCD的邊長為2，
∴A（1，0）B（3，0）C（3，2）D（1，2）；（4分）

（2）設此拋物線的解析式為y=a（x-1）（x-3），
∵直線y=x-1與y軸相交于G點，
∴G（0，-1），
∴3a=-1，
∴a=-

1

3

，
∴函數解析式：y=-

1

3

（x-1）（x-3）=-

1

3

（x-2）²+

1

3

，
∴此函數的對稱軸為：x=2，
∴M（4，-1）（8分）

（3）存在（9分）
∵AB=2，
設P（x，-

1

3

（x-2）²+

1

3

），
∴S_△PAM=S_△PAB+S_△MAB=

1

2

×2×[-

1

3

（x-2）²+

1

3

]+

1

2

×2×1=-

1

3

（x-2）²+

4

3

．
∴當x=2時，△PAM的面積最大，
此時點P的坐標為（2，

1

3

）．

點評：此題考查了待定系數法求函數的解析式，三角形面積的求解方法以及二次函數的最值問題，二次函數的對稱性等知識此題綜合性較強，難度適中，解題的關鍵是方程思想與數形結合思想的應用．