Question

如圖，⊙O的半徑為1，點P是⊙O上一點，弦AB垂直平分線段OP．點D是弦AB所對劣弧上的任一點（異于點A、B），過點D作DE⊥AB于點E，以點D為圓心，DE長為半徑作⊙D，連接AD、BD．分別過點A、B作⊙D的切線，兩條切線交于點C．下列結論：
①AB=；②∠ACB為定值60°；③∠ADB=2∠ACB；④設△ABC的面積為S，若則△ABC的周長為3．
其中正確的有（ ）

A．①②③
B．①②④
C．②③④
D．①③④

Answer 1

【答案】分析：①在RT△AOF中求出AF，然后可得出AB的長度；②求出AOB，然后利用圓周角的知識求出∠ADB，繼而可得出∠C；③根據②的解答過程即可判斷出正確與否；④根據切線的性質表示出△ABC的面積，然后根據，解出DE，繼而可得出周長．
解答：解：①

由題意得，OF=、OA=1，在RT△AOF中，可得AF=，從而可得AB=2AF=，故①正確；
②由OF=OA，可得∠AOF=60°，從而∠AOB=120°，即劣弧AB=120°，優弧AB=240°，從而∠ADB=120°，
∵∠C+∠CAB+∠CBA=180°，∠ADB+（∠CAB+∠CBA）=180°，
∴解得∠C=60°，故②正確；
③根據②的證明過程可得出∠ADB=120°，∠C=60°，故可得∠ADB=2∠ACB，即③正確；
④
由①得，AB=，
∵△ABC的面積為S=（AB+AN+CN+BC）×DE=（2+2CN）×DE，
∵△ABC的面積為S，，
∴=4，，
∵DE=DN=CD，
∴CN=DE，
∴可得=4，
解得：DE=，
△ABC的周長=AB+AC+BC==4DE=故④錯誤．
綜上可得①②③正確．
故選A．
點評：此題考屬于圓的綜合題目，涉及了切線的性質、角平分線的性質、三角形的面積，④的判斷比較麻煩，需要先求出DE的長度，對于此類題目可以利用排除法來作，這樣可以省下不少時間．