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(2004•貴陽)如圖,四邊形ABCD中,AC=6,BD=8且AC⊥BD.順次連接四邊形ABCD各邊中點,得到四邊形A1B1C1D1;再順次連接四邊形A1B1C1D1各邊中點,得到四邊形A2B2C2D2…如此進行下去得到四邊形AnBnCnDn
(1)證明:四邊形A1B1C1D1是矩形;
(2)寫出四邊形A1B1C1D1和四邊形A2B2C2D2的面積;
(3)寫出四邊形AnBnCnDn的面積;
(4)求四邊形A5B5C5D5的周長.

【答案】分析:(1)由A1D1分別是△ABD的中位線,B1C1是△CBD的中位線知,A1D1∥B1C1,A1D1=B1C1=BD,故四邊形A1B1C1D1是平行四邊形,由AC⊥BD,AC∥A1B1,BD∥A1D1知,四邊形A1B1C1D1是矩形;
(2)由三角形的中位線的性質知,B1C1=BD=4,B1A1=AC=3,故矩形A1B1C1D1的面積為12,可以得到故四邊形A2B2C2D2的面積是A1B1C1D1的面積的一半,為6;
(3)由三角形的中位線的性質可以推得,每得到一次四邊形,它的面積變?yōu)樵瓉淼囊话耄仕倪呅蜛nBnCnDn的面積為
(4)由相似圖形的面積比等于相似比的平方可得到矩形A5B5C5D5的邊長,再求得它的周長.
解答:(1)證明:∵點A1,D1分別是AB、AD的中點,
∴A1D1是△ABD的中位線
∴A1D1∥BD,A1D1=BD,
同理:B1C1∥BD,B1C1=BD
∴A1D1∥B1C1,A1D1=B1C1=BD
∴四邊形A1B1C1D1是平行四邊形.
∵AC⊥BD,AC∥A1B1,BD∥A1D1
∴A1B1⊥A1D1即∠B1A1D1=90°
∴四邊形A1B1C1D1是矩形;

(2)解:由三角形的中位線的性質知,B1C1=BD=4,B1A1=AC=3,
得:四邊形A1B1C1D1的面積為12;四邊形A2B2C2D2的面積為6;

(3)解:由三角形的中位線的性質可以推得,每得到一次四邊形,它的面積變?yōu)樵瓉淼囊话耄?br />故四邊形AnBnCnDn的面積為

(4)解:方法一:由(1)得矩形A1B1C1D1的長為4,寬為3.
∵矩形A5B5C5D5∽矩形A1B1C1D1
∴可設矩形A5B5C5D5的長為4x,寬為3x,則
解得

∴矩形A5B5C5D5的周長=
方法二:矩形A5B5C5D5的面積/矩形A1B1C1D1的面積
=(矩形A5B5C5D5的周長)2/(矩形A1B1C1D1的周長)2
:12=(矩形A5B5C5D5的周長)2:142
∴矩形A5B5C5D5的周長=
點評:本題利用了三角形的中位線的性質,相似圖形的面積比等于相似比的平方求解.
練習冊系列答案
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