Question

如圖，矩形邊OC，OA分別在x軸，y軸的正半軸上，OC=9，OA=5，點P為拋物線y=2x²+5的頂點，該拋物線隨頂點P從點A出發沿著線段AB方向向終點B運動，點P運動速度為1厘米/秒，運動時間為t 秒，E是動拋物線的對稱軸左側圖象上的某一點（含頂點P），D（0，-2），連接DE交x軸于點H，直線DE的解析式為y=kx-2．
（1）當t=1時，
①直接寫出此時動拋物線的解析式；
②若點E的坐標是（a，7），求a的值；
（2）當k=1且DH：DE=2：7時，求t的值；
（3）若點Q的坐標是（16，0），連接DQ，EQ．是否同時存在k，t，使△DEQ為等腰直角三角形？若存在，請求出所有滿足的k，t的值及點E的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）①y=2（x-1）²+5
②7=2（a-1）²+5，a=0或a=2（舍去），
∴a=0
（2）（如圖1）連接AE
∵k=1，
∴y=x-2，
∴H（2，0），
∵DO：DA=DH：DE=2：7，
∴AE∥OH，
∴點E與點P重合，
∴OH：AP=2：7，
∴AP=7，
即t=7；
（3）以下分三種情況討論．
①當∠EDQ=90°，DE=DQ時（如圖2）
作EM⊥y軸于點M，
∴△DEM≌△QDO，
∴易得E（-2，14），
∴14=-2k-2，
∴k=-8
∵y=2（x-t）²+5
∴14=2（-2-t）²+5
∴（舍去），或
∴k=-8，，E（-2，14）；
②當∠DEQ=90°，ED=EQ時（如圖3）
作ET⊥x軸于點T，EF⊥y軸于點F，
∴易得△ETQ≌△EFD，設ET=m，
∴易得TQ=16-m
FD=FO+OD=m+2，
∴m+2=16-m，
∴m=7，E（7，7），
∴7=7k-2，
∴k=
∵y=2（x-t）²+5
∴7=2（7-t）²+5
∴t=6（舍去），或t=8
∴k=，t=8，E（7，7）…（3分）
③當∠DQE=90°，QD=QE時
易得E（14，16），
∵E是動拋物線的對稱軸左側圖象上的某一點，
∴點E的橫坐標x_E≤9，
∵14＞9，
∴不存在∠DQE=90°且QD=QE的等腰直角△DQE．

分析：（1）直接根據拋物線的平移規律可以得到函數的解析式，然后點E的縱坐標代入求得a的值即可；
（2）連接AE，利用對應線段成比例得到平行線，然后求得AP的長即可求得t值．
（3）分當∠EDQ=90°，DE=DQ時、當∠DEQ=90°，ED=EQ時、當∠DEQ=90°，ED=EQ時三種情況求得點E的坐標即可．
點評：本題考查了二次函數的綜合知識，特別是本題中牽扯到的拋物線的平移問題更是近幾年中考的熱點考點，了解拋物線的平移規律是解題的關鍵．