Question

（1998•蘇州）已知：a、b、c是△ABC中∠A、∠B、∠C的對邊，拋物線y=x²-2ax+b²交x軸于兩點M、N，交y軸于點P，其中點M的坐標是（a+c，0）．
（1）求證：△ABC是直角三角形；
（2）若△MNP的面積是△NOP的面積的3倍，
①求cosC的值；
②試判斷，△ABC的三邊長能否取一組適當的值，使以MN為直徑的圓恰好過拋物線y=x²-2ax+b²的頂點？如能，求出這組值；如不能，說明理由．

Answer 1

分析：（1）將點M（a+c，0）代入拋物線y=x²-2ax+b²，整理可得a²=b²+c²，從而判斷出三角形為直角三角形；
（2）①根據S_△MNP=3S_△NOP，判斷出MN=3ON，即MO=4ON，求出N點坐標的表達式，得到x=a+c和x=

a+c

4

是方程x²-2ax+b²=0的兩根，求出a、c之間的關系，然后根據銳角三角函數的定義求出cosC=

b

a

=

4

5

．
②過D作DE⊥x軸于點E，則NE=EM，DN=DM，要使以MN為直徑的圓恰好過拋物線y=x²-2ax+b²的頂點，則使△MND為等腰直角三角形，只須ED=

1

2

MN=EM．據此進行計算即可．

解答：解：（1）∵拋物線y=x²-2ax+b²經過點M（a+c，0），
∴（a+c）²-2a（a+c）+b²=0，即a²=b²+c²．
由勾股定理的逆定理，得△ABC為直角三角形．

（2）①如圖1所示?∵S_△MNP=3S_△NOP，
∴MN=3ON，即MO=4ON，又M（a+c，0），
∴N（

a+c

4

，0），
∴x=a+c和x=

a+c

4

是方程x²-2ax+b²=0的兩根，
此時兩個為x_1，2=

2a± 4a2-4b2

2

=a±

a2-b2

，
∴a+c+

a+c

4

=2a，
∴c=

3

5

a，由（1）知：在△ABC中，∠A=90°，由勾股定理得b=

4

5

a，
∴cosC=

b

a

=

4

5

．
②能，由（1）知：y=x²-2ax+b²=x²-2ax+a²-c²=（x-a）²-c²，
∴頂點D（a，-c²）．
過D作DE⊥x軸于點E，則NE=EM，DN=DM，要使以MN為直徑的圓恰好過拋物線y=x²-2ax+b²的頂點，則使△MND為等腰直角三角形，只須ED=

1

2

MN=EM．
∵M（a+c，0），D（a，-c²），
∴DE=c²，EM=c，
∴c²=c，又c＞0，
∴c=1．
∵c=

3

5

a，b=

4

5

a，
∴a=

5

3

，b=

4

3

；
∴當a=

5

3

，b=

4

3

，c=1時，△MND為等腰直角三角形．
此時，EM=ED=EN，以MN為直徑的圓恰好過拋物線y=x²-2ax+b²的頂點．

點評：本題考查了二次函數的性質，是一道探索題，是近年來中考命題的熱點問題．在第（2）小題中要求同學們先猜想可能的結論，再進行證明，這對同學們的確有較高的能力要求．而在探索結論前可以自己先畫幾個草圖，做到心中有數再去努力求證．總之這是一道新課標形勢下的優秀壓軸．