Question

如圖所示，已知四邊形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，E，F(xiàn)為垂足，且AE=CF，∠BAC=∠DCA，求證四邊形ABCD是平行四邊形．

Answer 1

答案：略
解析：

證法1：∵AE⊥BD，CF⊥BD， ∴AE∥CF， ∴∠EAC=∠ACF， ∵∠BAC=∠DCA， ∵∠ABC=∠DCA， ∴∠BAE=∠DCF． 在Rt△AEB和Rt△CFD中， ∵∠AEB=∠CFD=90°，AE=CF，∠BAE=∠DCF， ∴△AEB≌△CFD， ∴AB=CD， ∵∠BAC=∠DCA， ∴AB∥CD， ∴四邊形ABCD是平行四邊形． 證法2：設(shè)AC與BD交點為O， ∵AE⊥BD，CF⊥BD， ∴AE∥CF， ∴∠EAC=∠ACF， 在△AOE和△COF中， ∠EAC=∠ACF，AE=CF，∠AEO=∠CFO=90°， ∴△AEO≌△CFO， ∴AO=CO，OE=OF． 在△ABE和△CDF， AE=CF，∠AEB=∠CFD=90°， ∴△ABE≌△CDF， ∴BE=DF， ∴BE＋OE=DF＋OF，即BO=DO， ∵AO=CO， ∴四邊形ABCD是平行四邊行．