Question

如圖，在等腰直角△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=4，P為AC中點，E為AB邊上一動點，F為BC邊上一動點，且滿足條件∠EPF=45°，記四邊形PEBF的面積為S1；

（1）求證：∠APE=∠CFP；

（2）記△CPF的面積為S2，CF=x，y=．

①求y關于x的函數解析式和自變量的取值范圍，并求y的最大值．

②在圖中作四邊形PEBF關于AC的對稱圖形，若它們關于點P中心對稱，求y的值．

 

 

Answer 1

(1)見解析；

(2)①則y關于x的函數解析式為：y=﹣+﹣1，（2≤x≤4），y的最大值為1;

②圖見解析， y=2﹣2．

【解析】

試題分析：（1）分別證出∠APE+∠FPC=∠CFP+∠FPC=135°，即可得出∠APE=∠CFP；

（2）①先證出=，再根據AP=CP=2，得出AE==，過點P作PH⊥AB于點H，PG⊥BC于點G，求出S△APE=PH•AE=，S2=S△PCF=CF×PG=x，再根據S1=S△ABC﹣S△APE﹣S△PCF求出S1=8﹣﹣x，再代入y=得出y=﹣8（﹣）2+1，最后根據2≤x≤4，得出時，y取得最大值，最后將x=2代入y=即可求出y最大=1．

②根據圖中兩塊陰影部分圖形關于點P成中心對稱，得出陰影部分圖形自身關于直線BD對稱，AE=FC，從而得出=x，求出x=2，最后把代入y=﹣+﹣1即可．

試題解析：（1）∵∠EPF=45°，

∴∠APE+∠FPC=180°﹣45°=135°；

在等腰直角△ABC中，∠PCF=45°，

則∠CFP+∠FPC=180°﹣45°=135°，

∴∠APE=∠CFP．

（2）①∵∠APE=∠CFP，且∠FCP=∠PAE=45°，

∴△APE∽△CFP，

則=．

在等腰直角△ABC中，AC=AB=4，

又∵P為AC的中點，則AP=CP=2，

∴AE===．

如圖1，過點P作PH⊥AB于點H，PG⊥BC于點G，

P為AC中點，則PH∥BC，且PH=BC=2，同理PG=2．

S△APE=PH•AE=×2×=，

S2=S△PCF=CF×PG=×x×2=x，

∴S1=S△ABC﹣S△APE﹣S△PCF=×4×4﹣﹣x=8﹣﹣x，

∴y===﹣+﹣1=﹣8（﹣）2+1，

∵E在AB上運動，F在BC上運動，且∠EPF=45°，

∴2≤x≤4．

即時，y取得最大值．

而x=2在x的取值范圍內，將x=2代入y==﹣8（﹣）2+1，得y最大=1．

則y關于x的函數解析式為：y=﹣+﹣1，（2≤x≤4），y的最大值為1．

②如圖2所示：

圖中兩塊陰影部分圖形關于點P成中心對稱，則陰影部分圖形自身關于直線BD對稱，

此時EB=BF，即AE=FC，

則=x，

解得x1=2，x2=﹣2（舍去），

將代入y=﹣+﹣1，得y=2﹣2．

考點：幾何變換綜合題．