Question

（2009•江北區(qū)模擬）如圖Rt△ABO中，∠ABO=Rt∠，∠A=30°，OB=2，如果將Rt△ABO在坐標(biāo)平面內(nèi)，繞原點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到△OA₁B₁的位置．
（1）求點(diǎn)A、B₁的坐標(biāo)；
（2）求經(jīng)過A、O、B₁三點(diǎn)的拋物線解析式；
（3）拋物線對(duì)稱軸l上是否存在點(diǎn)P，使PO+PB₁的值最小？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）在直角三角形AOB中，∠A=30°，OB=2，根據(jù)∠A的正切值即可求出AB的長，也就得出了A點(diǎn)的坐標(biāo)．
求B₁坐標(biāo)，可過B₁作B₁C⊥OA₁于C，在直角三角形OB₁C中，根據(jù)OB₁即OB的長和∠B₁OA的度數(shù)即可求出B₁的坐標(biāo)．
（2）已知了A、O、B₁的坐標(biāo)，可用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式．
（3）本題的關(guān)鍵是確定P點(diǎn)的位置，先找出B₁關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)，設(shè)此點(diǎn)為B₂，連接B₂O，那么B₂O與拋物線對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為P點(diǎn)．可先求出直線OB₂的解析式，然后聯(lián)立拋物線的對(duì)稱軸即可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．
解答：解：
（1）∵Rt△ABO中，∠ABO=90°，∠A=30°，OB=2
∴OA==2
∴A（-2，）
過B₁作B₁C⊥OA₁于C，B₁C=OB•sin60°=，OC=OB₁cos60°=1
∴B₁（1，）

（2）設(shè)y=ax²+bx，把A（-2，），B₁（1，）代入得

解得：
∴拋物線的解析式為y=x²+x．

（3）函數(shù)y=x²+x的對(duì)稱軸是x=-，
則B₁關(guān)于對(duì)稱軸是x=-對(duì)稱的點(diǎn)是B₂（-，），
設(shè)直線B₂O的解析式是y=kx，將B₂（-，）代入得
k=，
∴直線B₂O的解析式是y=x
當(dāng)x=-時(shí)，y=，
∴存在P（-，）使PO+PB₁的值最小．
點(diǎn)評(píng)：本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、圖形旋轉(zhuǎn)變換等知識(shí)點(diǎn)，（3）中正確找出P點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵．