Question

運用因式分解解決整除問題：

(1)99³－99能被100整除嗎？能被99整除嗎？

(2)81⁷－27⁹－9¹³能被45整除嗎？

(3)當n為整數時，證明：兩個連續奇數的平方差(2n＋1)²－(2n－1)²是8的倍數；

(4)證明：若a為整數，(2a＋1)²－1能被8整除．

Answer 1

答案：
解析：

(1)993－99＝99(992－1)＝99(99＋1)(99－1)＝99×100×98，所以993－99能被100、99整除． 　　(2)817－279－913＝(34)7－(33)9－(32)13＝328－327－326＝326(32－3－1)＝326×5＝324×32×5＝324×45，所以817－279－913能被45整除． 　　(3)證明：(2n＋1)2－(2n－1)2＝[(2n＋1)＋(2n－1)]·[(2n＋1)－(2n－1)]＝4n ×2＝8n，所以兩個連續奇數的平方差是8的倍數． 　　(4)證明：(2a＋1)2－1＝4a2＋4a＋1－1＝4a2＋4a＝4a(a＋1)，當a為整數時，a與a＋1中必有一個為偶數，∴a(a＋1)是偶數．∴4a(a＋1)能被8整除，即 (2a＋1)2－1能被8整除．