Question

如圖，將邊長為4的等邊三角形AOB放置于平面直角坐標系xoy中，F是AB邊上的動點（不與端點A、B重合），過點F的反比例函數y=（k＞0，x＞0）與OA邊交于點E，過點F作FC⊥x軸于點C，連結EF、OF．
（1）若S_△OCF=，求反比例函數的解析式；
（2）在（1）的條件下，試判斷以點E為圓心，EA長為半徑的圓與y軸的位置關系，并說明理由；
（3）AB邊上是否存在點F，使得EF⊥AE？若存在，請求出BF：FA的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）設F（x，y），（x＞0，y＞0），則OC=x，CF=y，
∴S_△OCF=xy=，
∴xy=2，
∴k=2，
∴反比例函數解析式為y=（x＞0）；

（2）該圓與y軸相離，
理由為：過點E作EH⊥x軸，垂足為H，過點E作EG⊥y軸，垂足為G，

在△AOB中，OA=AB=4，∠AOB=∠ABO=∠A=60°，
設OH=m，則tan∠AOB==，
∴EH=m，OE=2m，
∴E坐標為（m，m），
∵E在反比例y=圖象上，
∴m=，
∴m₁=，m₂=-（舍去），
∴OE=2，EA=4-2，EG=，
∵4-2＜，
∴EA＜EG，
∴以E為圓心，EA垂為半徑的圓與y軸相離；

（3）存在．
假設存在點F，使AE⊥FE，
過E點作EH⊥OB于點H，設BF=x．
∵△AOB是等邊三角形，
∴AB=OA=OB=4，∠AOB=∠ABO=∠A=60°，

∴BC=FB•cos∠FBC=x，FC=FB•sin∠FBC=x，
∴AF=4-x，OC=OB-BC=4-x，
∵AE⊥FE，
∴AE=AF•cosA=2-x，
∴OE=OA-AE=x+2，
∴OH=OE•cos∠AOB=x+1，EH=OE•sin∠AOB=x+，
∴E（x+1，x+），F（4-x，x），
∵E、F都在雙曲線y=的圖象上，
∴（x+1）（x+）=（4-x）•x，
解得：x₁=4，x₂=，
當BF=4時，AF=0，不存在，舍去；
當BF=時，AF=，BF：AF=1：4．
分析：（1）設F（x，y），得到OC=x與CF=y，表示出三角形OCF的面積，求出xy的值，即為k的值，進而確定出反比例解析式；
（2）過E作EH垂直于x軸，EG垂直于y軸，設OH為m，利用等邊三角形的性質及銳角三角函數定義表示出EH與OE，進而表示出E的坐標，代入反比例解析式中求出m的值，確定出EG，OE，EH的長，根據EA與EG的大小關系即可對于圓E與y軸的位置關系作出判斷；
（3）過E作EH垂直于x軸，設FB=x，利用等邊三角形的性質及銳角三角函數定義表示出FC與BC，進而表示出AF與OC，表示出AE與OE的長，得出OE與EH的長，表示出E與F坐標，根據E與F都在反比例圖象上，得到橫縱坐標乘積相等列出方程，求出方程的解得到x的值，即可求出BF與FA的比值．
點評：此題屬于反比例函數綜合題，涉及的知識有：反比例函數的圖象與性質，坐標與圖形性質，等邊三角形的性質，銳角三角函數定義，熟練掌握反比例函數的圖象與性質是解本題的關鍵．