Question

在△ABC中，∠ACB=90°，∠A＜45°，點O為AB中點，一個足夠大的三角板的直角頂點與點O重合，一邊OE經過點C，另一邊OD與AC交于點M．
（1）如圖1，當∠A=30°時，求證：MC²=AM²+BC²；
（2）如圖2，當∠A≠30°時，（1）中的結論是否成立？如果成立，請說明理由；如果不成立，請寫出你認為正確的結論，并說明理由；
（3）將三角形ODE繞點O旋轉，若直線OD與直線AC相交于點M，直線OE與直線BC相交于點N，連接MN，則MN²=AM²+BN²成立嗎？
答：______（填“成立”或“不成立”）

Answer 1

【答案】分析：（1）過A作AF⊥AC交CO延長線于F，連接MF，根據相似求出AF=BC，CO=OF，求出FM=CM，根據勾股定理求出即可；
（2）過A作AF⊥AC交CO延長線于F，連接MF，根據相似求出AF=BC，CO=OF，求出FM=CM，根據勾股定理求出即可；
（3）結論依然成立．
解答：（1）證明：如圖1，過A作AF⊥AC交CO延長線于F，連接MF，
∵∠ACB=90°，
∴BC∥AF，
∴△BOC∽△AOF，
∴==，
∵O為AB中點，
∴OA=OB，
∴AF=BC，CO=OF，
∵∠MOC=90°，
∴OM是CF的垂直平分線，
∴CM=MF，
在Rt△AMF中，由勾股定理得：MF²=AM²+AF²=AM²+BC²，
即MC²=AM²+BC²；

（2）解：還成立，
理由是：如圖2，
過A作AF⊥AC交CO延長線于F，連接MF，
∵∠ACB=90°，
∴BC∥AF，
∴△BOC∽△AOF，
∴==，
∵OA=OB，
∴AF=BC，CO=OF，
∵∠MOC=90°，
∴OM是CF的垂直平分線，
∴CM=MF，
在Rt△AMF中，由勾股定理得：MF²=AM²+AF²=AM²+BC²，
即MC²=AM²+BC²；

（3）成立．
點評：本題考查了直角三角形，相似三角形的性質和判定，勾股定理的應用，主要考查學生綜合運用性質和定理進行推理的能力，題目比較好，證明過程類似．