Question

如圖，直線y=kx+2與x軸、y軸分別交于點A、B，點C（1，a）是直線與雙曲線y=

m

x

的一個交點，過點C作CD⊥y軸，垂足為D，且△BCD的面積為1．
（1）求雙曲線的解析式；
（2）若在y軸上有一點E，使得以E、A、B為頂點的三角形與△BCD相似，求點E的坐標．

Answer 1

（1）∵CD=1，△BCD的面積為1，
∴BD=2
∵直線y=kx+2與x軸、y軸分別交于點A、B，
∴當x=0時，y=2，
∴點B坐標為（0，2）．
∴點D坐標為（O，4），
∴a=4．
∴C（1，4）
∴所求的雙曲線解析式為y=

4

x

．

（2）因為直線y=kx+2過C點，
所以有4=k+2，k=2，
直線解析式為y=2x+2．
∴點A坐標為（-1，0），B（0，2），
∴AB=

5

，BC=

5

，
當△BAE∽△BCD時，此時點E與點O重合，點E坐標為（O，0）；
當△BEA∽△BCD時，

AB

DB

=

BE

BC

，
∴

5

2

=

BE

5

，
∴BE=

5

2

，
∴OE=

1

2

，
此時點E坐標為（0，-

1

2

）．
綜上：當E為（0.0）或（0．-

1

2

）時△EAB與△BCD相似．