Question

【題目】如圖，四邊形OBCD中的三個頂點在⊙O上，點A是優弧BD上的一個動點（不與點B、D重合）．

（1）當圓心O在∠BAD內部，∠ABO+∠ADO=50°時，∠A =　 　°；

（2）當圓心O在∠BAD內部，四邊形OBCD為平行四邊形時，求∠C的度數；

（3）當圓心O在∠BAD外部，四邊形OBCD為平行四邊形時，請直接寫出∠ABO與∠ADO的數量關系．

Answer 1

【答案】⑴500；（2）1200；（3）|∠ABO﹣∠ADO|=60°

【解析】

（1）連接OA，如圖1，根據等腰三角形的性質得∠OAB=∠ABO，∠OAD=∠ADO，則∠BAD=∠OAB+∠OAD=∠ABO+∠ADO=50°；

（2）根據平行四邊形的性質得∠BOD=∠BCD，再根據圓周角定理得∠BOD=2∠BAD，則∠BCD=2∠BAD，然后根據圓內接四邊形的性質由∠BCD+∠BAD =180°，易計算出∠BAD的度數，從而得出結論；

（3）討論：當∠OAB比∠ODA小時，如圖2，與（1）一樣∠OAB=∠ABO，∠OAD=∠ADO，則∠OAD﹣∠OAB=∠ADO﹣∠ABO=∠BAD，由（2）得∠BAD=60°，所以∠ADO﹣∠ABO=60°；當∠OAB比∠ODA大時，用樣方法得到∠ABO﹣∠ADO=60°．

（1）連接OA，如圖1．

∵OA=OB，OA=OD．

∵∠OAB=∠ABO，∠OAD=∠ADO，∴∠BAD=∠OAB+∠OAD=∠ABO+∠ADO=50°；

（2）∵四邊形OBCD為平行四邊形，∴∠BOD=∠BCD．

∵∠BOD=2∠BAD，∴∠BCD=2∠BAD．

∵∠BCD+∠BAD =180°，即3∠BAD =180°，∴∠BAD =60°，∴∠C=180°-60°=120°；

（3）當∠OAB比∠ODA小時，如圖2．

∵OA=OB，OA=OD．

∵∠OAB=∠ABO，∠OAD=∠ADO，∴∠OAD﹣∠OAB=∠ADO﹣∠ABO=∠BAD，由（2）得∠BAD=60°，∴∠ADO﹣∠ABO=60°；

當∠OAB比∠ODA大時，同理可得∠ABO﹣∠ADO=60°．

綜上所述：|∠ABO﹣∠ADO|=60°．