Question

如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點M，過點B作BE∥CD，交AC的延長線于點E，連接BC．
（1）求證：BE為⊙O的切線．
（2）若CD=6，tan∠BCD=

1

2

，求⊙O的直徑．

Answer 1

分析：（1）由EB與CD平行，且CD垂直AB于AB，利用與平行線中一條垂直，與另一條也垂直得到EB與AB垂直，即可確定出EB為圓O的切線；
（2）由直徑AB垂直于CD，利用垂徑定理得到M為CD中點，求出CM的長，在直角三角形BCM中，由tan∠BCD的值，利用銳角三角函數定義求出BM的長，利用直徑所對的圓周角為直角，以及同角的余角相等得到∠BCD=∠CAB，利用CM與tan∠CAB的值，求出AM的長，由BM+AM即可求出AB的長．

解答：解：（1）∵CD⊥AB，BE∥CD，
∴EB⊥AB，
∵AB為圓的直徑，
∴BE為圓O的切線；

（2）∵AB⊥CD，
∴M為CD中點，即CM=DM=

1

2

CD=3，
在Rt△BCM中，tan∠BCD=

BM

CM

，即BM=3×

1

2

=

3

2

，
∵AB為圓O的直徑，
∴∠BCA=90°，
∴∠BCD+∠ACD=90°，
∵∠ACD+∠CAB=90°，
∴∠BCD=∠CAB，
∴tan∠CAB=tan∠BCD=

1

2

，
∴

CM

AM

=

1

2

，即AM=2CM=6，
則AB=AM+BM=6+

3

2

=

15

2

．

點評：此題考查了切線的判定，垂徑定理，銳角三角函數定義，以及圓周角定理，熟練掌握切線的判定方法是解本題的關鍵．