Question

如圖，菱形ABCD的邊長為2cm，∠DAB=60°．點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，以cm/s的速度，沿AC向C作勻速運(yùn)動(dòng)；與此同時(shí)，點(diǎn)Q也從A點(diǎn)出發(fā)，以1cm/s的速度，沿射線AB作勻速運(yùn)動(dòng)．當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)，P、Q都停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts．

（1）當(dāng)P異于A．C時(shí)，請(qǐng)說明PQ∥BC；

（2）以P為圓心、PQ長為半徑作圓，請(qǐng)問：在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，t為怎樣的值時(shí)，⊙P與邊BC分別有1個(gè)公共點(diǎn)和2個(gè)公共點(diǎn)？

 

Answer 1

【答案】

解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，且菱形ABCD的邊長為2，

∴AB=BC=2，∠BAC=∠DAB。

又∵∠DAB=60°，∴∠BAC=∠BCA=30°。

如圖1，連接BD交AC于O。

 

 

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，OA=AC。

∴OB=AB=1。∴OA=，AC=2OA=2。

運(yùn)動(dòng)ts后，AP=t，AO=t，∴。

又∵∠PAQ=∠CAB，∴△PAQ∽△CAB.∴∠APQ=∠ACB.

∴PQ∥BC.

（2）如圖2，⊙P與BC切于點(diǎn)M，連接PM，則PM⊥BC。

 

 

在Rt△CPM中，∵∠PCM=30°，∴PM=。

由PM=PQ=AQ=t，即=t，解得t=，

此時(shí)⊙P與邊BC有一個(gè)公共點(diǎn)。

如圖3，⊙P過點(diǎn)B，此時(shí)PQ=PB，

 

 

∵∠PQB=∠PAQ+∠APQ=60°

∴△PQB為等邊三角形。∴QB=PQ=AQ=t。∴t=1。

∴當(dāng)時(shí)，⊙P與邊BC有2個(gè)公共點(diǎn)。

如圖4，

 

 

⊙P過點(diǎn)C，此時(shí)PC=PQ，即 =t

∴t=。

∴當(dāng)1≤t≤時(shí)，⊙P與邊BC有一個(gè)公共點(diǎn)。

當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C，即t=2時(shí)，Q、B重合，⊙P過點(diǎn)B，

此時(shí)，⊙P與邊BC有一個(gè)公共點(diǎn)。

綜上所述，當(dāng)t=或1≤t≤或t=2時(shí)，⊙P與菱形ABCD的邊BC有1個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，⊙P與邊BC有2個(gè)公共點(diǎn)。

【解析】直線與圓的位置關(guān)系，菱形的性質(zhì)，含30°角直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行的判定，切線的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)。

【分析】（1）連接BD交AC于O，構(gòu)建直角三角形AOB．利用菱形的對(duì)角線互相垂直、對(duì)角線平分對(duì)角、鄰邊相等的性質(zhì)推知△PAQ∽△CAB；然后根據(jù)“相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等”證得∠APQ=∠ACB；最后根據(jù)平行線的判定定理“同位角相等，兩直線平行”可以證得結(jié)論。

（2）分⊙P與BC切于點(diǎn)M，⊙P過點(diǎn)B，⊙P過點(diǎn)C和點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C四各情況討論即可。