Question

如圖，拋物線與x軸交于A（-1，0）、B（3，0）兩點，與y軸交于點C（0，-3），設拋物線的頂點為D．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求拋物線頂點D的坐標；
（3）探究坐標軸上是否存在點P，使得以P、A、C為頂點的三角形與△BCD相似？若存在，請指出符合條件的點P的位置，并直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用待定系數法將A（-1，0）、B（3，0），C（0，-3），代入y=ax²+bx+c，求出二次函數解析式即可；
（2）利用配方法直接求出頂點坐標即可；
（3）根據相似三角形的判定方法分別得出即可．
解答：解：（1）設該拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，
由拋物線與y軸交于點C（0，-3），可知c=-3．
即拋物線的解析式為y=ax²+bx-3把A（-1，0）、B（3，0）代入，
得
①×3+②得3a-3b-9+9a+3b-3=0，即12a=12，
解得a=1，b=-2．
∴拋物線的解析式為y=x²-2x-3；

（2）∵y=x²-2x-3
=（x²-2x+1）-4，
=（x-1）²-4，
∴頂點D的坐標為（1，-4）；

（3）連接AC，
易得：CD=，BC=3，BD=2，
∴CD²+DB²=BC²，
可知Rt△COA∽Rt△BCD，得符合條件的點為O（0，0）
過A作AP₁⊥AC交y軸正半軸于P₁，可知Rt△CAP₁∽Rt△COA∽Rt△BCD，
求得符合條件的點為．
過C作CP₂⊥AC交x軸正半軸于P₂，可知Rt△P₂CA∽Rt△COA∽Rt△BCD，
求得符合條件的點為P₂（9，0）．
∴符合條件的點有三個：（0，0），，P₂（9，0）．
點評：此題主要考查了二次函數的綜合應用以及相似三角形的判定等知識，相似三角形與二次函數經常結合出綜合題目，所以同學們學要對這些知識熟練地掌握才能正確的解答．