Question

已知：如圖，圓心A(0，-3)，⊙A與x軸相切，⊙B的圓心B在x軸的正半軸上，且⊙A與⊙B外切于P點，兩圓的內公切線MP交y軸于M，交x軸于N．

(1)求證：△AOB∽△NPB；

(2)設⊙A半徑為r₁，⊙B半徑為r₂，若r₁∶r2=3∶2，求點M、N的坐標及公切線MP的函數解析式；

(3)設點B(x₁，0)，點B關于y軸的對稱點是B′(x₂，0)，若x₁·x₂=-6，求過B′、A、B三點的拋物線的解析式；

(4)若⊙A的位置大小不變，圓心B在x正半軸上移動，并始終有⊙B與⊙A外切，過點M作⊙B的切線MC，C為切點，MC=3時，B點在x軸的什么位置？從你的解答中能獲得什么猜想？

 

Answer 1

答案：
解析：

(1)∵　MP為⊙O的公切線， ∴　∠NPB=∠AOB=90°，又∠NBP=∠ABO， ∴　△AOB∽△NPB．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　3分 (2)M(0，2)，N(，0)，y=；　　　　　　　　　　　　　　　　　　　6分 (3)y=x2-3；　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 9分 (4)當MC=時，點B的坐標為(，0)，四邊形MOBC為矩形，點B的橫坐標為(，0)與點C的橫坐標相同．　　12分