Question

己知直角梯形ABCD中，AD∥BC．∠BCD=90°，BC=CD=2AD，E、F分別是BC、CD邊的中點．連接BF、DF交于點P．連接CP并延長交AB于點Q，連接AF，求證：
（1）CP平分∠BCD；
（2）四邊形ABED為平行四邊形；
（3）△ABF為等腰三角形．

Answer 1

分析：（1）首先得出△BCF≌△DCE（SAS），進而得出△BPE≌△DPF，即可得出BP=DP，得出△BPC≌△DPC即可解決問題；
（2）利用平行四邊形的判定中一組對邊平行且相等得出即可；
（3）利用平行四邊形的性質得出AB=DE，即可得出AB=BF，進而得出△ABF為等腰三角形．

解答：證明：（1）∵E、F分別是BC、CD邊的中點，
∴EC=FC，
∴在△BCF和△DCE中，

EC=FC ∠ECD=∠BCF BC=DC

，
∴△BCF≌△DCE（SAS），
∴∠FBC=∠EDC，BF=ED，∠BPE=∠DPF，
∴△BPE≌△DPF（AAS），
∴BP=DP，PC=PC，BC=CB，
∴△BPC≌△DPC（SSS），
∴∠BCP=∠DCP；

（2）∵BC=CD=2AD，E是BC邊的中點，
∴AD=BE，
又∵AD∥BC，
∴四邊形ABED為平行四邊形，

（3）∵四邊形ABED為平行四邊形，
∴AB=DE，
∵BF=ED，
∴AB=BF，
∴△ABF為等腰三角形．

點評：此題主要考查了平行四邊形的判定與性質以及全等三角形的判定與性質等知識，根據已知得出△BPC≌△DPC是解題關鍵．