Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，AB=10cm，sinA=．如果點P由B出發沿BA向點A勻速運動，同時點Q由A出發沿AC向點C勻速運動．已知點P的速度為2cm/s，點Q的速度為1cm/s．連接PQ，設運動的時間為t（單位：s）（0≤t≤5）

（1）求AC，BC的長；

（2）當t為何值時，△APQ的面積為△ABC面積的；

（3）當t為何值時，△APQ與△ABC相似．

Answer 1

【答案】（1）AC=8cm，BC=6cm；（2）當t為1s或4s時，△APQ的面積為△ABC面積的；（3）當t為s或s時，△APQ與△ABC相似．

【解析】

試題分析：（1）根據正弦的定義和勾股定理求出AC，BC的長；

（2）作PE⊥AC于E，根據相似三角形的性質用t表示出PE，根據三角形的面積公式和題意列出方程，解方程即可；

（3）分△APQ∽△ABC和△APQ∽△ACB兩種情況，根據相似三角形的性質列出方程，解方程即可．

解：（1）∵Rt△ABC中，AB=10cm，sinA=，

∴=，

∴BC=6cm，

則AC==8cm，

∴AC=8cm，BC=6cm；

（2）作PE⊥AC于E，

由題意得，BP=2tcm，AQ=tcm，

則AP=（10﹣2t）cm，

∵PE∥BC，

∴=，即=，

解得，PE=6﹣t，

∴△APQ的面積=×t×（6﹣t），△ABC面積=×6×8=24，

由題意得，×t×（6﹣t）=×24，

解得，t1=1，t2=4，

則當t為1s或4s時，△APQ的面積為△ABC面積的；

（3）當△APQ∽△ABC時，=，即=，

解得，t=，

當△APQ∽△ACB時，=，即=，

解得，t=，

故當t為s或s時，△APQ與△ABC相似．