Question

如圖所示，公園要建造圓形的噴水池，在水池中央垂直于水面處安裝一個柱子OA，O恰在水面中心，OA=1.25m，由柱子頂端A處的噴頭向外噴水，水流在各個方向沿形狀相同的拋物線路線落下，為使水柱形狀較為漂亮，要求設計成水流在離OA距離為1m處到達距水面最大高度2.25m．

    （1）如果不計其他因素，那么水池的半徑至少為多少，才能使噴出的水流不致落到池外？

    （2）若水流噴出的拋物線形狀與（1）相同，水池的半徑為3.5m，要使水流不落到池外，此時水流最大高度應達多少？（精確到0.1m）

Answer 1

（1）如圖所示，建立坐標，設一條拋物線頂點為B，水流落水與x軸交點為C，

根據題意有A（0，1.25），B（1，2.25），設拋物線為y=a（x-1）²+2.25．

    將點A坐標代入，得a=-1，

    ∴y=-（x-1）²+2.25．

    令y=0，得x₁=-0.5（舍去）．

    x₂=2.5．

    ∴水池的半徑至少要2.5m．

（2）由于拋物線形狀與（1）相同可設此拋物線為y=-（x+m）²+k，

再將點A（0，1.25）及點（3.5，0）代入，解方程組可求得m=-，k=3≈3.7，

    所以，此時水流最大高度達3.7m．