Question

（2004•深圳）等腰梯形ABCD中，如圖1，AB∥CD，AD=BC，延長AB到E，使BE=CD，連接CE．
（1）求證：CE=CA；
（2）上述條件下，如圖2，若AF⊥CE于點F，且AF平分∠DAE，，求sin∠CAF的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據等腰梯形的性質可得出AC=BD，而CDBE，因此四邊形CEBD是平行四邊形，CE=BD，因此可得出CE=CA；
（2）要求∠CAF的正弦值，就要知道，CF和AC的比例關系．由于BD∥CE，AF⊥CE，那么AF⊥BD，而AF平分∠DAB，因此AF垂直平分BD，如果設AF，BD交于O點，那么BO=BD=AC=CE．根據CD：AE=2：5，即BE：AE=2：5，可得出AB：AE=3：5，有BO∥CE，得出BO：EF=AB：AE，也就求出了BF何CE的比例關系，便可得出CF和EC的比例關系，由于CE=AC，因此也就得出了CF和AC的比例關系即可得出∠CAF的正弦值．
解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是等腰梯形
∴AC=BD，CD∥BE，
∵CD=BE，
∴四邊形DBEC是平行四邊形
∴CE=BD，
∴CE=CA；

（2）解：∵CD=BE，且，
∴=
∵AF⊥EC，BD∥EC
∴AF⊥BD，設垂足為O
∵AF平分∠DAB
∴AF垂直平分BD，即BO=BD=AC=CE
∵BO∥CE
∴==，即=
∴EF=CE
∴CF=CE=AC
∴sin∠CAF==．
點評：本題主要考查了等腰梯形的性質，相似三角形的性質等知識點的應用，本題中通過AF垂直平分BD得出BO=BD，進而求出EF和CE的關系是解題的關鍵．