Question

（2010•龍湖區模擬）如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的頂點A（0，3），C（-1，0）．將矩形OABC繞原點O順時針方向旋轉90°，得到矩形OA′B′C′．設直線BB′與x軸交于點M、與y軸交于點N，拋物線經過點C、M、N．解答下列問題：
（1）求直線BB′的函數解析式；
（2）求拋物線的解析式；
（3）在拋物線上求出使的所有點P的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據四邊形OABC是矩形可知B（-1，3）．根據旋轉的性質，得B′（3，1）．
把B（-1，3），B′（3，1）代入y=mx+n中，利用待定系數法可解得y=-．
（2）由（1）得，N（0，），M（5，0）．設二次函數解析式為y=ax²+bx+c，把C（-1，0），M（5，0），N（0，）代入得，利用待定系數法解得二次函數解析式為y=x²+2x+．
（3）根據矩形的面積公式可知S_矩形OABC=3×1=3，則．易求得拋物線的頂點坐標為（2，），P的縱坐標是-8．當y=-8時代入二次函數解析式得-8=x²+2x+，即x²-4x-21=0．解得x₁=-3，x₂=7．則P₁（-3，-8），P₂（7，-8）．所以滿足條件的點P的坐標是（-3，-8）和（7，-8）．
解答：解：（1）∵四邊形OABC是矩形，
∴B（-1，3）（1分）
根據題意，得B′（3，1）（2分）
把B（-1，3），B′（3，1）代入y=mx+n中，，
解得，
∴y=-；（3分）

（2）由（1）得，N（0，），M（5，0），（4分）
設二次函數解析式為y=ax²+bx+c，把C（-1，0），M（5，0），N（0，）代入得
，
解得，
∴二次函數解析式為y=x²+2x+；（5分）

（3）∵S_矩形OABC=3×1=3，
∴，
又∵B′C′=3，
∵B′（3，1），
∴點P到B′C′的距離為9，則P點的縱坐標為10或-8．
∵拋物線的頂點坐標為（2，），
∴P的縱坐標是10，不符合題意，舍去，
∴P的縱坐標是-8，（6分）
當y=-8時，-8=x²+2x+，
即x²-4x-21=0，
解得x₁=-3，x₂=7，
∴P₁（-3，-8），P₂（7，-8），（7分）
∴滿足條件的點P的坐標是（-3，-8）和（7，-8）．（7分）
點評：本題考查二次函數的綜合應用，其中涉及到的知識點有待定系數法求函數解析式和函數圖象上點的意義，矩形的性質與面積，函數和方程之間的關系等．要熟練掌握才能靈活運用．