Question

已知拋物線y=ax²+bx+c經過A（-1，0），B（2，-3），C（3，0）三點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若拋物線的頂點為D，E是拋物線上的點，并且滿足△AEC的面積是△ADC面積的3倍，求點E的坐標；
（3）設點M是拋物線上，位于x軸的下方，且在對稱軸左側的一個動點，過M作x軸的平行線，交拋物線于另一點N，再作MQ⊥x軸于Q，NP⊥x軸于P．試求矩形MNPQ周長的最大值．

Answer 1

分析：（1）根據拋物線經過A、B、C三點，用待定系數法即可求出未知數的值，從而求出二次函數的解析式．
（2）根據（1）中所求拋物線的解析式可求出頂點P的坐標，可求出△ACD的面積，代入三角形AEC的面積公式便可求出E點的縱作坐標，代入二次函數的關系式即可求出E點的坐標．
（3）設出M點的坐標，根據拋物線的對稱性可求出N點坐標，用x表示出MN、MQ的值，根據矩形的面積公式可列出L與x的關系式，根據二次函數的最值即可求出L的最大值．

解答：解：（1）把A（-1，0），B（2，-3），C（3，0）三點分別代入拋物線y=ax²+bx+c得，

a-b+c=0 4a+2b+c=-3 9a+3b+c=0

，
解得

a=1 b=-2 c=-3

，
故此拋物線的解析式為：y=x²-2x-3；

（2）D（1，-4），AC=4，S_△ACD=

1

2

×4×4=8  （4分）
設E點的縱坐標為y，則S_△AEC=

1

2

．AC．|y|=2|y|
由題意知S_△AEC=3S_△ADC
∴2|y|=24，|y|=12，y=±12（負值舍去）   5分
∴12=x²-2x-3即x₁=5，x₂=-3
∴E點的坐標是（-3，12）或（5，12）；6分

（3）設M（x，y）則N（2-x，y）（-1＜x＜1）
MN=2-2x，MQ=-y=-x²+2x+3   7分
四邊形MNPQ的周長為
L=2（2-2x）+2（-x²+2x+3）=-2x²+10  8分
∴當x=0時，L有最大值10．  9分

點評：此題考查的是二次函數圖象上點的坐標特點、列函數關系式以及最值的求法，是中學階段的基本題目，但有一定的難度．