Question

（2010•昆明）在平面直角坐標系中，拋物線經過O（0，0）、A（4，0）、E（3，）三點．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）以OA的中點M為圓心，OM長為半徑作⊙M，在（1）中的拋物線上是否存在這樣的點P，過點P作⊙M的切線l，且l與x軸的夾角為30°？若存在，請求出此時點P的坐標；若不存在，請說明理由．（注意：本題中的結果可保留根號）．

Answer 1

【答案】分析：（1）設拋物線的一般式，將O、A、B三點坐標代入解析式，解方程組即可；
（2）存在這樣的點P，設滿足條件的切線l與x軸交于點B，與⊙M相切于點C，連接MC，過C作CD⊥x軸于D，在Rt△BMC中，CM為半徑，∠CBM=30°，可求BM，從而可求B點坐標，在Rt△CDM中，∠CMD=60°，CM為半徑，可求CD、DM，OD=OM--DM，可確定C點坐標，根據“兩點法”求直線BC解析式，聯立直線解析式、拋物線解析式，解方程組可求P點坐標，根據圖形的對稱性求另外兩點坐標．
解答：解：（1）設拋物線的解析式為：y=ax²+bx+c（a≠0）
由題意得：（1分）
解得：（2分）
∴拋物線的解析式為：（3分）

（2）存在（4分）
拋物線的頂點坐標是，作拋物線和⊙M（如圖），
設滿足條件的切線l與x軸交于點B，與⊙M相切于點C
連接MC，過C作CD⊥x軸于D
∵MC=OM=2，∠CBM=30°，CM⊥BC
∴∠BCM=90°，∠BMC=60°，BM=2CM=4，
∴B（-2，0）
在Rt△CDM中，∠DCM=∠CDM-∠CMD=30°
∴DM=1，CD==∴C（1，）
設切線l的解析式為：y=kx+b（k≠0），點B、C在l上，
可得：
解得：
∴切線BC的解析式為：
∵點P為拋物線與切線的交點，
由，
解得：，，
∴點P的坐標為：，；
∵拋物線的對稱軸是直線x=2
此拋物線、⊙M都與直線x=2成軸對稱圖形
于是作切線l關于直線x=2的對稱直線l′（如圖）
得到B、C關于直線x=2的對稱點B₁、C₁
直線l′滿足題中要求，由對稱性，
得到P₁、P₂關于直線x=2的對稱點：，即為所求的點；
∴這樣的點P共有4個：，，，．
點評：本題考查了拋物線、直線解析式的求法，圓的切線的性質，30°直角三角形的性質．