Question

某汽車制造公司計劃生產A、B、C三種型號的汽車共80輛．并且公司在設計上要求，A、C兩種型號之間按如圖所示的函數關系生產．該公司投入資金不少于1212萬元，但不超過1224萬元，且所有資金全部用于生產這三種型號的汽車，三種型號的汽車生產成本和售價如下表：

	A	B	C
成本（萬元/輛）	12	15	18
售價（萬元/輛）	14	18	22

設A種型號的汽車生產x輛；
（1）設C種型號的汽車生產y輛，求出y與x的函數關系式；
（2）該公司對這三種型號汽車有哪幾種生產方案？
（3）設該公司賣車獲得的利潤W萬元，求公司如何生產獲得利潤最大？
（4）根據市場調查，每輛A、B型號汽車的售價不會改變，每輛C型號汽車在不虧本的情況下售價將會降價a萬元（a＞0），且所生產的三種型號汽車可全部售出，該公司又將如何生產獲得利潤最大？（注：利潤=售價-成本）

Answer 1

分析：（1）由y與x的函數圖象可知，y是x的一次函數，所以設y=kx+b，將（25，39），（30，34）代入，運用待定系數法即可求出y與x的函數關系式；
（2）設A種型號的汽車生產x輛，C種型號的汽車生產y輛，則B種型號的汽車生產（80-x-y）輛，根據該公司投入資金不少于1212萬元，但不超過1224萬元，可建立不等式組，解此不等式組，求出符合題意的x的值，進而得出與之對應的方案數；
（3）首先根據公司賣車獲得的利潤=公司賣A、B、C三種型號的汽車獲得的利潤之和得出W與x的函數關系式，再根據函數的性質及自變量的取值范圍，即可求出函數的最大值；
（4）首先根據公司賣車獲得的利潤=公司賣A、B、C三種型號的汽車獲得的利潤之和得出W與x的函數關系式，再根據a的取值，分類討論解答．

解答：解：（1）設y=kx+b，將（25，39），（30，34）代入，
得

25k+b=39 30k+b=34

，解得

k=-1 b=64

．
故y與x的函數關系式為y=-x+64；

（2）由題意知，B種型號的汽車生產（80-x-y）輛，由題意，有
1212≤12x+15（80-x-y）+18y≤1224，
∵y=-x+64，
∴1212≤12x+15（80-64）+18（-x+64）≤1224，
∴1212≤-6x+1392≤1224，
解得28≤x≤30，
∵x為整數，
∴x可取28或29或30，
∴有三種生產方案：
方案一：A種型號的汽車生產28輛，B種型號的汽車生產16輛，C種型號的汽車生產36輛；
方案二：A種型號的汽車生產29輛，B種型號的汽車生產16輛，C種型號的汽車生產35輛；
方案三：A種型號的汽車生產30輛，B種型號的汽車生產16輛，C種型號的汽車生產34輛．

（3）設利潤為w元，則
W=2x+3（80-x-y）+4y=2x+3（80-64）+4（-x+64）=-2x+304，
∵-2＜0，
∴w隨x的增大而減小，
∴當x=28時，W最大，此時W=-2×28+304=248．
故按（2）中方案一進貨利潤最大；

（4）由題意知W=2x+3（80-x-y）+（4-a）y=2x+3（80-64）+（4-a）（-x+64）=（a-2）x+（304-64a），
∴當0＜a＜2時，x=28，W最大，即A種型號的汽車生產28輛，B種型號的汽車生產16輛，C種型號的汽車生產36輛；
當a=2時，a-2=0，三種生產方案獲得的利潤相等．
當2＜a≤4時，x=30，W最大，即A種型號的汽車生產30輛，B種型號的汽車生產16輛，C種型號的汽車生產34輛．

點評：此題考查了一次函數與不等式組的實際應用問題．難度較大，解題的關鍵是理解題意，能根據題意求得不等式組與函數解析式，然后根據其性質解題．