Question

如圖，拋物線y=x²-m²（m＞0）與x軸相交于點A、C，與y軸相交于點P，連結PA、PC，過點A畫PC的平行線分別交y軸和拋物線于點B、C₁，連結CB并延長交拋物線于點A₁，在過點A₁畫AC₁的平行線分別交y軸和拋物線于點B₁、C₂，連結C₁B₁并延長交拋物線于點A₂，…，依次得到四邊形，記四邊形A_nB_nC_nB_n-1的面積為S_n．
（1）求證：四邊形ABCP是菱形．
（2）設∠A₁B₁C₁=a，且90°＜a＜120°，求m的取值范圍．
（3）當m=1時，
①填表：

序號	S1	S2	S3	…	Sn
四邊形的面積				…

②是否存在2個四邊形，他們的面積S_p、S_q滿足：（p＜q）？若存在，求p、q的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵AB∥PC，AP∥BC，
∴四邊形ABCP是平行四邊形，
∵AP=CP，
∴四邊形ABCP是菱形；

（2）∵AC₁∥A₁C₂，A₁C∥A₂C₁，
∴∠A₁B₁C₁=∠ABC，
∵四邊形ABCP是菱形，
∴∠ABC=2∠OBC，
∵90°＜∠A₁B₁C₁＜120°，
∴45°＜∠OBC＜60°，
∵B（0，m²），C（2m，0），
∴tan∠OBC=，
∴1＜＜，解得＜m＜2；
（3）①

序號	S1	S2	S3	…	Sn
四邊形的面積	16	36	64	…	4（n+1）2

②∵S_p=4（p+1）²，S_q=4（q+1）²，
∴S_p•S_q=2⁴（p+1）²（q+1）²=2¹⁴，
∴（p+1）²（q+1）²=2¹⁰，
∴（p+1）（q+1）=2⁵，
∴或，
∴或．
分析：（1）根據AB∥PC，AP∥BC可知四邊形ABCP是平行四邊形，再由AP=CP即可得出結論；
（2）由AC₁∥A₁C₂，A₁C∥A₂C₁，可知∠A₁B₁C₁=∠ABC，再由四邊形ABCP是菱形可知∠ABC=2∠OBC，因為90°＜∠A₁B₁C₁＜120°故45°＜∠OBC＜60°，再由B（0，m²），C（2m，0）可知tan∠OBC=，故可得出結論；
（3）①根據梯形的面積公式即可得出結論．根據S_p=4（p+1）²，S_q=4（q+1）²即可得出結論．
點評：本題考查的是二次函數綜合題，根據題意找出概率是解答此題的關鍵．