Question

【題目】如圖，邊長為5的正方形 的頂點在坐標原點處，點分別在軸、軸的正半軸上，點是邊上的點（不與點重合），且與正方形外角平分線交于點．

（1）求證：；

（2）若點坐標為時，①在軸上是否存在點，使得四邊形是平行四邊形？若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由；

②在平面內是否存在點，使四邊形為正方形，若存在，請直接寫出點坐標，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①存在， ，理由見解析；②存在，，理由見解析

【解析】

（1）在上截取，連結，利用正方形的性質，外角平分線和等量代換證明，即可證明；

（2）過作交于，則點即為所求，利用平行四邊形和正方形的性質證明，則有，進而可求出，從而可確定M的坐標；

（3）過點C作EP的平行線，過點P作CE的平行線，兩平行線的交點即為所求Q點，過點Q作交CB與點K, 利用正方形的性質證明，則有進而可求，從而可確定Q的坐標．

（1）證明：在上截取，連結，

∵是正方形，

∴，

，

∴．

又，

．

，

∴．

，

，

．

∵AG平分 ,

，

，

∴，

∴，

∴；

（2）①存在點使四邊形為平行四邊形，

過作交于，則點即為所求，

∵是正方形，

∴．

∵四邊形為平行四邊形，

．

∵，

，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴在軸上存在點，使四邊形的平行四邊形；

②存在點Q使四邊形為正方形．

過點C作EP的平行線，過點P作CE的平行線，兩平行線的交點即為所求Q點，過點Q作交CB與點K,

∵四邊形是正方形，

∴ ，

．

又，

．

，

，

，

，

（此時K與點B重合），

，

．