Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，點D、E是邊BC上的兩個點，且BD=DE=EC，過點C作CF∥AB交AE延長線于點F，連接FD并延長與AB交于點G；
（1）求證：AC=2CF；
（2）連接AD，如果∠ADG=∠B，求證：CD2=ACCF．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵BD=DE=EC，

∴BE=2CE，

∵CF∥AB，

∴△ABE∽△FCE，

∴ =2，即AB=2FC，

又∵AB=AC，

∴AC=2CF；

（2）證明：如圖，

∵∠1=∠B，∠DAG=∠BAD，

∴△DAG∽△BAD，

∴∠AGD=∠ADB，

∴∠B+∠2=∠5+∠6，

又∵AB=AC，∠2=∠3，

∴∠B=∠5，

∴∠3=∠6，

∵CF∥AB，

∴∠4=∠B，

∴∠4=∠5，

則△ACD∽△DCF，

∴ ，即CD2=ACCF．

【解析】（1）由BD=DE=EC知BE=2CE，由CF∥AB證△ABE∽△FCE得 =2，即AB=2FC，根據AB=AC即可得證；（2）由∠1=∠B證△DAG∽△BAD得∠AGD=∠ADB，即∠B+∠2=∠5+∠6，結合∠B=∠5、∠2=∠3得∠3=∠6，再由CF∥AB得∠4=∠B，繼而知∠4=∠5，即可證△ACD∽△DCF得CD2=ACCF．
【考點精析】認真審題，首先需要了解等腰三角形的性質(等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）)，還要掌握相似三角形的判定與性質(相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方)的相關知識才是答題的關鍵．