Question

在平面直角坐標系中，拋物線經過O（0，0）、A（4，0）、E（3，-

2 3

3

）三點．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）以OA的中點M為圓心，OM長為半徑作⊙M，在（1）中的拋物線上是否存在這樣的點P，過點P作⊙M的切線l，且l與x軸的夾角為30°？若存在，請求出此時點P的坐標；若不存在，請說明理由．（注意：本題中的結果可保留根號）．

Answer 1

分析：（1）設拋物線的一般式，將O、A、B三點坐標代入解析式，解方程組即可；
（2）存在這樣的點P，設滿足條件的切線l與x軸交于點B，與⊙M相切于點C，連接MC，過C作CD⊥x軸于D，在Rt△BMC中，CM為半徑，∠CBM=30°，可求BM，從而可求B點坐標，在Rt△CDM中，∠CMD=60°，CM為半徑，可求CD、DM，OD=OM--DM，可確定C點坐標，根據“兩點法”求直線BC解析式，聯立直線解析式、拋物線解析式，解方程組可求P點坐標，根據圖形的對稱性求另外兩點坐標．

解答：解：（1）設拋物線的解析式為：y=ax²+bx+c（a≠0）
由題意得：

c=0 16a+4b+c=0 9a+3b+c=- 2 3 3

（1分）
解得：a=

2 3

9

，b=-

8 3

9

，c=0（2分）
∴拋物線的解析式為：y=

2 3

9

x2-

8 3

9

x（3分）

（2）存在（4分）
拋物線y=

2 3

9

x2-

8 3

9

x的頂點坐標是(2，-

8 3

9

)，作拋物線和⊙M（如圖），
設滿足條件的切線l與x軸交于點B，與⊙M相切于點C
連接MC，過C作CD⊥x軸于D
∵MC=OM=2，∠CBM=30°，CM⊥BC
∴∠BCM=90°，∠BMC=60°，BM=2CM=4，
∴B（-2，0）
在Rt△CDM中，∠DCM=∠CDM-∠CMD=30°
∴DM=1，CD=

CM2-DM2

=

3

∴C（1，

3

）
設切線l的解析式為：y=kx+b（k≠0），點B、C在l上，
可得：

k+b= 3 -2k+b=0

解得：k=

3

3

，b=

2 3

3

∴切線BC的解析式為：y=

3

3

x+

2 3

3

∵點P為拋物線與切線的交點，
由

y= 2 3 9 x2- 8 3 9 x y= 3 3 x+ 2 3 3

，
解得：

x1=- 1 2 y1= 3 2

，

x2=6 y2= 8 3 3

，
∴點P的坐標為：P1(-

1

2

，

3

2

)，P2(6，

8 3

3

)；
∵拋物線y=

2 3

9

x2-

8 3

9

x的對稱軸是直線x=2
此拋物線、⊙M都與直線x=2成軸對稱圖形
于是作切線l關于直線x=2的對稱直線l′（如圖）
得到B、C關于直線x=2的對稱點B₁、C₁
直線l′滿足題中要求，由對稱性，
得到P₁、P₂關于直線x=2的對稱點：P3(

9

2

，

3

2

)，P4(-2，

8 3

3

)即為所求的點；
∴這樣的點P共有4個：P1(-

1

2

，

3

2

)，P2(6，

8 3

3

)，P3(

9

2

，

3

2

)，P4(-2，

8 3

3

)．

點評：本題考查了拋物線、直線解析式的求法，圓的切線的性質，30°直角三角形的性質．