Question

（2005•南充）如圖，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，對角線AC上有一個動點P（不包括點A和點C）．設AP=x，四邊形PBCD的面積為y．
（1）y與x的函數關系式為______，自變量x的范圍是______；
（2）有人提出一個判斷：“關于動點P，△PBC面積與△PAD面積之和為常數．”請你說明此判斷是否正確______．（填“是”或“否”）

Answer 1

【答案】分析：（1）解此題的關鍵是用x表示出四邊形PBCD的面積，可以將四邊形PBCD化為兩個三角形：△PCD，△PBC來求得．先求△PBC的面積，BC=6，可利用相似表示出高的值，求面積即可；又因為兩個三角形的面積相等，所以可以求得．
（2）根據①中的方法，可以求得△PAD的面積，兩個面積相加，即可求得和為24．
解答：解：（1）過動點P作PE⊥BC于點E．在Rt△ABC中，AC=10，
PC=AC-AP=10-x，
∵PE⊥BC，AB⊥BC，
∴AB∥PE，
∴△PEC∽△ABC，
故=，
即=，PE=8-x，EC=6-x，
∴S_△PBC=PE•BC=24-x，S_△PCD=CD•EC=24-x，
即y=48-x，x的取值范圍是0＜x＜10；

（2）這個判斷是正確的．
理由：由（1）可得，△PAD面積=，
△PBC面積與△PAD面積之和=24．
點評：此題考查了相似三角形的判定，①如果兩個三角形的三組對應邊的比相等，那么這兩個三角形相似；②如果兩個三角形的兩條對應邊的比相等，且夾角相等，那么這兩個三角形相似；③如果兩個三角形的兩個對應角相等，那么這兩個三角形相似．