Question

在直線l上擺放著三個正方形

（1）如圖1，已知水平放置的兩個正方形的邊長依次是a，b斜著放置的正方形的面積S=______，兩個直角三角形的面積和為______；（均用a，b表示）
（2）如圖2，小正方形面積S₁=1，斜著放置的正方形的面積S=4，求圖中兩個鈍角三角形的面積m₁和m₂，并給出圖中四個三角形的面積關系；
（3）圖3是由五個正方形所搭成的平面圖，T與S分別表示所在的三角形與正方形的面積，試寫出T與S的關系式，并利用（1）和（2）的結論說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據題意，可以證得中間的兩個三角形全等，再根據勾股定理，即可得出答案；
（2）求出兩個鈍角三角形的底邊和高，然后根據三角形的面積公式求解即可；
（3）利用勾股定理分別求出S和T的值，然后比較求解即可．
解答：解：（1）如圖1所示：∵三個四邊形均為正方形，
∴∠ACB+∠BAC=90°，∠ACB+∠DCE=90°，AC=CE，
∴∠BAC=∠DCE，
∵∠ABC=∠CDE=90°，
∴△ABC≌△CDE，
∴BC=DE=a，AB=CD=b，
∴S_△ABC+S_△CDE=ab，
同時AC²=AB²+BC²，
∵兩個正方形的面積分別為a²，b²，
∴S=a²+b²，

（2）如圖2所示，a=1，斜正方形邊長c=2，b=，
由30°角和60°角易求出面積為m₁的三角形底邊長為1，高為，故m₁=；
面積為m₂的三角形邊長為，高為1，故m₂=．
結論：四個三角形的面積相等．

（3）S=T．如圖3所示，首先由（2）知：T=S_△ABC，
設小正方形邊長為a，大正方形邊長為b，
由（1）知：S=a²+b²，又圖中四個小三角形的面積m=ab，
S_△ABC=a²+b²+（a²+b²）+4×ab-（a+b）（2a+2b）=a²+b²=S，
∴S=T．

點評：本題考查了勾股定理的運用，結合正方形的面積求解公式求解．