Question

【題目】（7分）如圖，△ABC中，∠ACB=90°，D．E分別是BC、BA的中點，聯結DE，F在DE延長線上，且AF=AE．

（1）求證：四邊形ACEF是平行四邊形；

（2）若四邊形ACEF是菱形，求∠B的度數．

Answer 1

【答案】（1）證明見試題解析；（2）30°．

【解析】

試題（1）由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，得到CE=AE=BE，從而得到AF=CE，再由等腰三角形三線合一，得到∠1=∠2，從而有∠F=∠3，得到∠2=∠F，故CE∥AF，然后利用一組對邊平行且相等的四邊形是菱形證明；

（2）由菱形的性質，得到AC=CE，求出AC=CE=AE，從而得到△AEC是等邊三角形，得出∠CAE=60°，然后根據直角三角形兩銳角互余解答．

試題解析：（1）∵∠ACB=90°，E是BA的中點，∴CE=AE=BE，∵AF=AE，∴AF=CE，在△BEC中，∵BE=CE且D是BC的中點，∴ED是等腰△BEC底邊上的中線，∴ED也是等腰△BEC的頂角平分線，∴∠1=∠2，∵AF=AE，∴∠F=∠3，∵∠1=∠3，∴∠2=∠F，∴CE∥AF，又∵CE=AF，∴四邊形ACEF是平行四邊形；

（2）∵四邊形ACEF是菱形，∴AC=CE，由（1）知，AE=CE，∴AC=CE=AE，∴△AEC是等邊三角形，∴∠CAE=60°，在Rt△ABC中，∠B=90°﹣∠CAE=90°﹣60°=30°．