Question

如圖1，過△ABC的三個頂點分別作出與水平線垂直的三條直線，外側兩條直線之間的距離叫△ABC的“水平寬”（a），中間的這條直線在△ABC內部線段的長度叫△ABC的“鉛垂高”（h）．我們可得出一種計算三角形面積的新方法：S△ABC=ah，即三角形面積等于水平寬與鉛垂高乘積的一半．

解答下列問題：
如圖2，拋物線頂點坐標為點C（1，4），交x軸于點A（3，0），點P是拋物線（在第一象限內）上的一個動點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點B為拋物線與y軸的交點，求直線AB的解析式；
（3）設點P是拋物線（第一象限內）上的一個動點，是否存在一點P，使S_△PAB=S_△CAB？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）設拋物線的解析式為：y₁=a（x-1）²+4，
把A（3，0）代入解析式求得a=-1，
所以y₁=-（x-1）²+4=-x²+2x+3，

（2）設直線AB的解析式為：y₂=kx+b，
求得B點的坐標為（0，3），
把A（3，0），B（0，3）代入y₂=kx+b中，
，
解得：
所以y₂=-x+3，

（3）因為C點坐標為（1，4），
所以當x=1時，y₁=4，y₂=2，
所以CD=4-2=2，
，
假設存在符合條件的點P，設點P的橫坐標是x，△PAB的鉛垂高為h，
則h=y₁-y₂=（-x²+2x+3）-（-x+3）=-x²+3x，
由S_△PAB=S_△CAB，
得：×3×（-x²+2x）=3
化簡得：x²-2x+2=0，
∵b²+4ac=4-8=-4＜0，
∴此方程無實數根，
∴不存在這樣的點使S_△PAB=S_△CAB．
分析：（1）已知拋物線的頂點和拋物線上的幾點，即可利用頂點式求解析式；
（2）利用A，B兩點的坐標，由待定系數法求一次函數解析式即可；
（3）根據S_△PAB=S_△CAB即可得到一個關于點P的橫坐標的方程，即可求出方程根的情況，進而得到不存在符合要求的P點．
點評：此題主要考查了二次函數的解析式的求法和與幾何圖形結合的綜合能力的培養．要會利用數形結合的思想把代數和幾何圖形結合起來，利用點的坐標的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關系．